Integrale generalizzato

[caron901]

f(x) = $ 1 / (x(logx)^2 ) $
Si provi che è integrabile in senso generalizzato in [2, +∞[
io ho fatto i vari calcoli e mi viene $ 1 / 2 $ è giusto?

[theras]

"caron901":f(x) = $ 1 / (x(logx)^2 ) $
Si provi che è integrabile in senso generalizzato in [2, +∞[
io ho fatto i vari calcoli e mi viene $ 1 / 2 $ è giusto?

Ciao!
Forse ti sei perso una funzione nel risultato da te proposto?
Saluti dal web.

[caron901]

in che senso perso una funzione è così la traccia..devo provare che f è integrabile in senso generalizzato

[theras]

Ed allora fà attenzione perchè,se vuoi determinare a cosa converge $int_(2)^(+oo)1/(xlog^2x)dx$,
nel risultato manca qualcosa..
Saluti dal web.

[caron901]

uff..non capisco bene..non è che invece potresti spiegarmi gentilmente come risolvere questi tipi di integrali?

[theras]

Va bene:
magari mi fai intanto vedere come integri in senso indefinito $1/(xlog^2x)$?
Saluti dal web.

[Seneca1]

Facciamo così: posta i calcoli che ti hanno condotto a quel risultato...

[caron901]

io ho ftt cosi:
$ int_(2)^(t) 1 / (x(logx)^2) $
Poi ho fatto per sostituzione (logx=s)e mi viene:
$ int_(2)^(t) 1 / (x(s)^2) ds x $ semplifico le x e mi rimane
$ -1 / s $
dove devo mettere il valore t e 2 quindi: $ -1 / t + 1 / 2 $

[theras]

Dunque se ho capito bene(scusa se sistemo un pò..),per te $int_(2)^(t)1/(xlog^2x)dx=int_(2)^(t)1/(s^2)ds$;
per la funzione integranda ci siamo,
ma nell'intervallo base dell'integrale in s hai scordato di sostituire gli estremi in x alla s(x) da te ben introdotta:
il I° teorema d'integrazione definita per sostituzione t'obbliga a farlo..
Saluti dal web.

[caron901]

no..non mi hai capito..io ho fatto l'integrale e sostituito e mi viene in qust modo

[theras]

Credo d'aver capito,ma forse è meglio se mi spiego più chiaramente:
alla luce della tua posizione si ha $int_(2)^(t)1/(xlog^2x)dx=int_(s(2))^(s(t))1/(s^2)ds$
(il I° Teorema d'integrazione definita per sostituzione dice questo,appunto..)=
$=[-1/s]_(log2)^(logt)=-1/(logt)+1/(log2)$.
Passa al limite per $t$$to(+oo)$ ed otterrai a norma definizione a quale valore converge il tuo integrale improprio:
saluti dal web.

[caron901]

cioè converge a $ 1 / log2 $