Integrale generalizzato
ciao!
dunque ho questo integrale: $\int_{0}^{+infty} (arctg(x^a))/(x(x^a+1))dx$ e dice che devo vedere quando è minore di +infinito
ora io so che per un integrale generalizzato si procede in questo modo:
$\int_{0}^{+infty} f(x)dx$ = $lim_(t->+infty)(\int_{0}^{t} f(x)dx$
per cui si dovrebbe ridurre ad un integrale diciamo "normale" di cui poi si va a fare il limite
ora io, andrei a calcolare l'integrale (anche se la vedo un po difficilotta dato che c'è l'arcotangente) ma il mio libro per un integrale analogo (dove al posto di x c'è $x^a$ e viceversa fa un altro tipo di ragionamento che a dire il vero non ho capito molto;
cioè praticamente dice che: poichè x-> 0...........l'arctg(x) è equivalente a x.....e x+1 è equivalente a 1 quindi $arctgx/(x^a(x+1))$ equivale a $1/x^(a-1)$ ;
e analogamente fa la stessa cosa per x-> + $infty$
quindi la mia domanda è....DEVO FARLO USANDO I POLINOMI DI TAYLOR??? come se fosse un limite???
nn ci sto capendo piu nulla...aiutatemi
dunque ho questo integrale: $\int_{0}^{+infty} (arctg(x^a))/(x(x^a+1))dx$ e dice che devo vedere quando è minore di +infinito
ora io so che per un integrale generalizzato si procede in questo modo:
$\int_{0}^{+infty} f(x)dx$ = $lim_(t->+infty)(\int_{0}^{t} f(x)dx$
per cui si dovrebbe ridurre ad un integrale diciamo "normale" di cui poi si va a fare il limite
ora io, andrei a calcolare l'integrale (anche se la vedo un po difficilotta dato che c'è l'arcotangente) ma il mio libro per un integrale analogo (dove al posto di x c'è $x^a$ e viceversa fa un altro tipo di ragionamento che a dire il vero non ho capito molto;
cioè praticamente dice che: poichè x-> 0...........l'arctg(x) è equivalente a x.....e x+1 è equivalente a 1 quindi $arctgx/(x^a(x+1))$ equivale a $1/x^(a-1)$ ;
e analogamente fa la stessa cosa per x-> + $infty$
quindi la mia domanda è....DEVO FARLO USANDO I POLINOMI DI TAYLOR??? come se fosse un limite???
nn ci sto capendo piu nulla...aiutatemi
Risposte
all'infinito l'arcotangente è limitata per cui l'eventuale divergenza è data solo da $\frac{1}{x(x^a +1)}$ che ha integrale convergente per $a>0$..per x vicino a zero hai dallo sviluppo di Taylor al primo ordine $arctg(x^a)= x^a+o(x^a)$ e il pezzo al denominatore $(x^a + 1)$ non ti dà problemi per cui la divergenza è data da un termine dell'ordine $x^(a-1)$ che è integrabile per $a-1> -1$ cioè per $a>0$ quindi in conclusione per $a>0$ l'integrale è finito.
"alberto86":
l'eventuale divergenza è data solo da $\frac{1}{x(x^a +1)}$ che ha integrale convergente per $a>0$...
tu ti sei spiegato benissimo......sono io che sn un po citrullo.....quello che tu hai fatto è vedere quale è il risultato di questo integrale???
$\int_{0}^{+infty}1/(x(x^a+1))dx$ = $lim_(t->+infty)(\int_{0}^{t} 1/(x(x^a+1))dx$ .....
cioè io con quel $x(x^a+1)$ non ne riesco a venire a capo.....come devo calcolare l'integrale, attraverso il "principio di identita dei polinomi" calcolandomi le costanti?? o in che modo?
non capisco
io vorrei capire....se trattasi cio che è nell'intergrale principale attraverso i polinomi di taylor come se fosse un limite non si semplificherebbe la funzione sia al numeratore che al denominatore???
L'integrale non va calcolato esplicitamente!
Per svolgere l'esercizio è sufficiente applicare i criteri di sommabilità per gli integrali impropri di Riemann (che saranno sicuramente presenti sul tuo libro di Analisi I, quello di teoria).
Per svolgere l'esercizio è sufficiente applicare i criteri di sommabilità per gli integrali impropri di Riemann (che saranno sicuramente presenti sul tuo libro di Analisi I, quello di teoria).
"Gugo82":
L'integrale non va calcolato esplicitamente!
Per svolgere l'esercizio è sufficiente applicare i criteri di sommabilità per gli integrali impropri di Riemann (che saranno sicuramente presenti sul tuo libro di Analisi I, quello di teoria).
senti scusami...forse prima nn mi sono spiegato molto bene...allora la cosa che io dicevo è questa....per fare un integrale del genere dovrei attuare questa forma $lim_(t->+infty)\int_{0}^{t} f(x) dx$.....ma questa operazione è come dire $\int_{0}^{t}(lim_(t->+infty) f(x)dx$ o cio è valido solo per le successioni di funzioni..
perchè la cosa che io vorrei capire è: posso fare prima il limite della funzione (attraverso De l'Hopital o le approsimazioni di Taylor ad esempio) e poi integrare o è sbagliato???
e inoltre il polinomio di Taylor approsimato al primo ordine di $arctg(x)$ è $x$, ma quello di $x$ e quello di $x^a+1$ come sono???
mamma quanti dubbi che ho
!! questo integrale mi sta facendo impazzire ma io devo capirlo a tutti i costi ( 
)!!grazie e cpme sempre siete degli angeli
se non ci fossero persone come voi!!!
Meglio che cancelli dalla tua mente quel passaggio al limite sotto integrale: non significa nulla e non c'entra nulla col problema in questione.
Siamo d'accordo che $\int_0^(+oo) (arctg x^a)/(x*(x^a+1))" d"x=\lim_(r\to 0^+) \int_r^c (arctg x^a)/(x*(x^a+1))" d"x+\lim_(R\to +oo) \int_c^R (arctg x^a)/(x*(x^a+1))" d"x$ (qui $c$ è un qualunque fissato punto di $]0,+oo[$)... Su questo non ci piove, perchè è la definizione di integrale improprio di Riemann.
Ora, l'esercizio ti chiede di determinare per quali $a>0$ l'integrale improprio è finito e la cosa bella è che ciò può esser fatto senza calcolare esplicitamente l'integrale (anche perchè credo sia impossibile calcolarlo "a mano").
Per risolvere questo tipo di esercizi di solito basta applicare i cosiddetti criteri di sommabilità per gli integrali impropri di Riemann, che sono i seguenti:
Sono tutte cose che sicuramente trovi sul libro di teoria, se ce l'hai.
Ad ogni modo, fissiamo $c=1$ e spezziamo l'intervallo $]0,+oo[$ in due parti, ossia $]0,1]$ e $[1,+oo[$: in entrambi gli intervalli $f(x;a)=(arctg x^a)/(x*(x^a+1))$ è continua (quindi integrabile su tutti i compatti $[r,1]\subseteq ]0,1]$ e $[1,R]\subseteq [1,+oo[$), non negativa e risulta anche:
(*) $\quad \lim_(x\to 0^+) f(x;a)=\{(+oo, " se " a<1),(1, " se " a=1),(0, " se " a>1):} \quad$ e (**) $\quad \lim_(x\to +oo) f(x;a)=0\quad$;
ne consegue che si possono applicare i criteri di sommabilità 1 e 2 nei due intervalli $]0,1]$ e $[1,+oo[$: perciò per stabilire se $f(x;a)$ è integrabile in $]0,1]$ basta andare a determinare a) l'ordine con cui $f(x;a)$ tende a $+oo$ in $0$ e b) l'ordine con cui $f(x;a)$ tende a $0$ in $+oo$.
[Noto inoltre che se $a>=1$ la $f(x;a)$ può essere prolungata con continuità su $[0,1]$, quindi per $a>=1$ l'integrale improprio $\int_0^1 f(x;a) " d"x$ esiste certamente; gli unici valori di $a$ che ti danno impiccio su $]0,1]$ sono quelli per cui $\lim_(x\to 0^+) f(x;a)=+oo$ ovvero gli $a<1$.]
Siamo d'accordo che $\int_0^(+oo) (arctg x^a)/(x*(x^a+1))" d"x=\lim_(r\to 0^+) \int_r^c (arctg x^a)/(x*(x^a+1))" d"x+\lim_(R\to +oo) \int_c^R (arctg x^a)/(x*(x^a+1))" d"x$ (qui $c$ è un qualunque fissato punto di $]0,+oo[$)... Su questo non ci piove, perchè è la definizione di integrale improprio di Riemann.
Ora, l'esercizio ti chiede di determinare per quali $a>0$ l'integrale improprio è finito e la cosa bella è che ciò può esser fatto senza calcolare esplicitamente l'integrale (anche perchè credo sia impossibile calcolarlo "a mano").
Per risolvere questo tipo di esercizi di solito basta applicare i cosiddetti criteri di sommabilità per gli integrali impropri di Riemann, che sono i seguenti:
1) Sia $f:]b,c] \to RR$ una funzione non negativa, integrabile secondo Riemann in ogni compatto $[r,c] \subseteq ]b,c]$ e non limitata intorno a $b$ (ossia tale che $\lim_(x\to b^+) f(x)=+oo$).
Se $f$ è un infinito in $b$ d'ordine $<=$ di qualche numero $p<1$, allora la $f$ è integrabile in $]b,c]$ (nel senso che l'integrale improprio $\int_b^c f(x)" d"x$ è finito).
Se invece $f$ è un infinito d'ordine $>=1$, allora $f$ non è integrabile in $]b,c]$ (nel senso che l'integrale improprio $\int_b^c f(x)" d"x$ è infinito).
2) Sia $f:[c,+oo[\to RR$ una funzione non negativa, integrabile secondo Riemann su ogni compatto $[c,R]\subseteq [c,+oo[$ e tale che $\lim_(x\to +oo) f(x)=0$.
Se $f$ è uno zero in $+oo$ d'ordine $>=$ di qualche numero $p>1$, allora la $f$ è integrabile in $[c,+oo]$ (nel senso che l'integrale improprio $\int_c^(+oo) f(x)" d"x$ è finito).
Se invece $f$ è uno zero in $+oo$ d'ordine $<=1$, allora $f$ non è integrabile in $[c,+oo[$ (nel senso che l'integrale improprio $\int_c^(+oo) f(x)" d"x$ è infinito).
Sono tutte cose che sicuramente trovi sul libro di teoria, se ce l'hai.
Ad ogni modo, fissiamo $c=1$ e spezziamo l'intervallo $]0,+oo[$ in due parti, ossia $]0,1]$ e $[1,+oo[$: in entrambi gli intervalli $f(x;a)=(arctg x^a)/(x*(x^a+1))$ è continua (quindi integrabile su tutti i compatti $[r,1]\subseteq ]0,1]$ e $[1,R]\subseteq [1,+oo[$), non negativa e risulta anche:
(*) $\quad \lim_(x\to 0^+) f(x;a)=\{(+oo, " se " a<1),(1, " se " a=1),(0, " se " a>1):} \quad$ e (**) $\quad \lim_(x\to +oo) f(x;a)=0\quad$;
ne consegue che si possono applicare i criteri di sommabilità 1 e 2 nei due intervalli $]0,1]$ e $[1,+oo[$: perciò per stabilire se $f(x;a)$ è integrabile in $]0,1]$ basta andare a determinare a) l'ordine con cui $f(x;a)$ tende a $+oo$ in $0$ e b) l'ordine con cui $f(x;a)$ tende a $0$ in $+oo$.
[Noto inoltre che se $a>=1$ la $f(x;a)$ può essere prolungata con continuità su $[0,1]$, quindi per $a>=1$ l'integrale improprio $\int_0^1 f(x;a) " d"x$ esiste certamente; gli unici valori di $a$ che ti danno impiccio su $]0,1]$ sono quelli per cui $\lim_(x\to 0^+) f(x;a)=+oo$ ovvero gli $a<1$.]
sisi...ho il libro di teoria....ma per quanto ti possa sembrare assurdo le cose che hai scritto nella citazione non le ho trovate da nessuna parte..in ogni caso GRAZIE 1000!!! 8)
Solo per curiosità, che libro di Analisi usi?
quello della mia prof.....riportava queste cose in un appendice a parte che ora ho trovato......io guardavo tra le regole degli integrali impropri per quello non le trovavo...ciauz!!=)
Ah, ecco... mi pareva strano! 
Buono studio.
Buono studio.
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