Integrale Generalizzato
Salve ragazzi,
sto avendo difficoltà a capire gli integrali generalizzati...non parlo della teoria ma degli esercizi.
Il mio problema con questo argomento è che non riesco a capire che metodo/i utilizzare per arrivare alla soluzione, non mi è chiaro come con gli integrali standard (per sostituzione, per parti, polinomi).
Questo è un esercizio di esempio:
$\int _0^{\infty }frac{x^{2a}}{x^2+x}$
Bisogna trovare per quali valori di $a$ l'integrale converge.
Potreste mostrarmi come va risolto, e mostrarmi magari qualche linea generale da tenere sempre a mente? Grazie
sto avendo difficoltà a capire gli integrali generalizzati...non parlo della teoria ma degli esercizi.
Il mio problema con questo argomento è che non riesco a capire che metodo/i utilizzare per arrivare alla soluzione, non mi è chiaro come con gli integrali standard (per sostituzione, per parti, polinomi).
Questo è un esercizio di esempio:
$\int _0^{\infty }frac{x^{2a}}{x^2+x}$
Bisogna trovare per quali valori di $a$ l'integrale converge.
Potreste mostrarmi come va risolto, e mostrarmi magari qualche linea generale da tenere sempre a mente? Grazie
Risposte
Ciao, nello studio di un integrale generalizzato la prima cosa da fare è capire in quali punti l'integranda non è continua.
Nel nostro caso l'integrale è definito in $]0,+infty[$ e dunque devi studiare l'integrale in $0$ e $+infty$.
Generalmente per determinare se un integrale converge o meno devi rifarti a:
- Sviluppi in serie di Taylor
- Teorema del confronto e del confronto asintotico
Nel nostro caso siccome abbiamo due punti di discontinuità spezzi l'integrale nei due intervalli $]0,1];[1,+infty[$
- Intervallo $]0,1]$
$x^2+x ∼ x$ per $x->0$
Allora $x^(2a)/(x^2+x) ∼ x^(2a)/x = 1/x^(2a-1) $
$ \int _0^{1} 1/x^(2a-1) $ converge per $2a-1<1$,ossia per $a<1$
Questo perchè in generale vale che $ \int _0^{1} 1/x^a $ converge per $a<1$
A questo punto fai lo stesso tipo di studio nell'intervallo $[1,+infty[$ e determini quali sono i valori di $a$ per i quali entrambi gli integrali convergono
Nel nostro caso l'integrale è definito in $]0,+infty[$ e dunque devi studiare l'integrale in $0$ e $+infty$.
Generalmente per determinare se un integrale converge o meno devi rifarti a:
- Sviluppi in serie di Taylor
- Teorema del confronto e del confronto asintotico
Nel nostro caso siccome abbiamo due punti di discontinuità spezzi l'integrale nei due intervalli $]0,1];[1,+infty[$
- Intervallo $]0,1]$
$x^2+x ∼ x$ per $x->0$
Allora $x^(2a)/(x^2+x) ∼ x^(2a)/x = 1/x^(2a-1) $
$ \int _0^{1} 1/x^(2a-1) $ converge per $2a-1<1$,ossia per $a<1$
Questo perchè in generale vale che $ \int _0^{1} 1/x^a $ converge per $a<1$
A questo punto fai lo stesso tipo di studio nell'intervallo $[1,+infty[$ e determini quali sono i valori di $a$ per i quali entrambi gli integrali convergono
"WeP":
Nel nostro caso siccome abbiamo due punti di discontinuità spezzi l'integrale nei due intervalli $]0,1];[1,+infty[$
Ecco questo non mi è chiaro...i punti di discontinuità quali sarebbero? Gli estremi?
Non capisco perchè hai spezzato l'integrale proprio cosi...Grazie
Sono quelli per i quali la funzione dentro l'integrale non è continua
$+infty$ e $-infty$ sono sempre da studiare, e nel nostro caso anche $0$ perchè la funzione non è definita in quel punto (guarda il denominatore)
$+infty$ e $-infty$ sono sempre da studiare, e nel nostro caso anche $0$ perchè la funzione non è definita in quel punto (guarda il denominatore)
Ah ok grazie....Ma quindi potevo prendere come intervallo anche $]0,2]$...è unguale no?...perchè in quel punto e continua giusto?
Esatto 
Ultima cosa ...Nel caso in cui dovessi avere "problemi" solo su un estremo ($\infty$)...non c'è bisogno che spezzo l'integrale ma studio solo il comportamento all'infinito, giusto?
...Nel caso in cui dovessi avere "problemi" solo su un estremo ($\infty$)...non c'è bisogno che spezzo l'integrale ma studio solo il comportamento all'infinito, giusto?
Si
Ti ringrazio.
(Sono nuovo del forum...è provvisto per caso di "ricompensa" come migliore risposta o robe simili...per ringraziare dell'aiuto? )
(Sono nuovo del forum...è provvisto per caso di "ricompensa" come migliore risposta o robe simili...per ringraziare dell'aiuto?
)
No, si aiuta solo per il piacere di farlo 
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