Integrale generalizzato

[maryble]

Buonasera, ho un dubbio riguardo il seguente esercizio ed una domanda relativa allo stesso.
Data la funzione
$ f(x) = e^{x^2} $ , per $ 0<= x<= 1
$
$f(x) = 1 - cos^2(\pi/x^{1/3)) $ , per $ x>1 $,
dire se esiste finito l'integrale $ \int_{0}^{+oo }f(t) dt $.
Bene, io ho sfruttato la linearità dell'integrale per calcolarlo teoricamente in $ (0;1) $ e in (1;+ $ oo) $, considerando poi che per il primo la funzione integranda è la funzione esponenziale (e dunque in tal caso l'integrale nel primo dominio converge), mentre nel secondo la funzione è riconducibile a $ sin^2(\pi/x^{1/3)) ~ x^{-2/3} (x $ rarr +oo) $ e dunque il secondo integrale - e di conseguenza quello di partenza - non converge.
C'è qualche errore (se è più di uno vi prego di dirlo con tatto: sono già abbastanza giù... ) ?
E un'altra domanda: dove posso trovare esercizi di questo tipo? Utilizzo l'Acerbi-Buttazzo ed il relativo eserciziario (che ne pensate di questi libri?) e di esercizi del genere non se ne trovano.
Grazie per la vostra attenzione!

[Brancaleone1]

$f(x)={ ( e^(x^2) text( se ) 0<=x<=1 ),( 1-cos^2(pi/root(3)(x)) text( se ) x>1 ):}$

$=>int_0^(+oo) f(x)dx=int_0^1 (e^(x^2))dx + int_1^(+oo) [1-cos^2(pi/root(3)(x))]dx$

Il primo addendo converge poiché l'integranda è definita in tutto l'intervallo $[0,1]$ considerato, quindi per il TFCI esso converge.
Il secondo addendo diverge poiché

$lim_(x->+oo) [1-cos^2(pi/root(3)(x))]=0 text( di ordine) < 1$

perciò

$int_0^(+oo) f(x)dx text( diverge)$

[maryble]

Grazie infinite per la celerità (e perdona il ritardo della risposta). Il dubbio mi sorgeva perché nella soluzione proposta per tale esercizio risultava la convergenza e non la divergenza di tale integrale, dunque temevo di aver completamente ignorato un qualche passaggio fondamentale e stavo già andando in paranoia.
Grazie di cuore, buona giornata.