Integrale generale equazioni differenziali II ordine omogenee
Buonasera a tutti,
siamo nel caso di equazioni differenziali lineari di II ordine omogenee a coefficienti costanti (del tipo $ y''+ay'+by=0 $ ) la cui equazione caratteristica abbia $ Delta =0 $. Sto incontrando qualche difficoltà a capire come si arrivi logicamente dalle soluzioni $ s_(1,2) $ dell'equazione caratteristica associata $ s^2+as+b=0 $ all'integrale generale $ IG(EO)={xrarr e^(alpha x)(c_1cos(beta x)+c_2sen(beta x))|c_1,c_2in R} $ . A lezione l'impostazione è stata questa: si devono trovare due soluzioni nella forma $ e^(sx) $ con $ s $ soluzione dell'equazione caratteristica associata. È noto $ Delta < 0 $ , quindi $ s_(1,2)=(-a+- isqrt(-Delta ))/2 $ . Se, per semplificare, chiamiamo $ alpha =-a/2 $ e $ beta=sqrt(-Delta )/2 $, avremo $ s_(1,2)=alpha +- ibeta $. Ora, andando a sostituire, due soluzioni dell'equazione differenziale dovrebbero essere $ y=e^((alpha +ibeta )x) $ e $ y=e^((alpha -ibeta )x) $ . La prima può diventare $ y=e^(alpha x)e^(ibeta x) $ , cioè, mediante l'uguaglianza di Eulero, $ y=e^(alphax)(cos(betax)+isen(betax)) $ , ma non capisco proprio come da qui si possa arrivare a $ y=e^(alphax)cos(betax) $ , cioè come faccia a "sparire" la parte con l'unità immaginaria $ i $ . Analogamente non capisco come si faccia ad arrivare da $ y=e^((alpha-ibeta)x) $ a $ y=e^(alphax)sen(betax) $ .
siamo nel caso di equazioni differenziali lineari di II ordine omogenee a coefficienti costanti (del tipo $ y''+ay'+by=0 $ ) la cui equazione caratteristica abbia $ Delta =0 $. Sto incontrando qualche difficoltà a capire come si arrivi logicamente dalle soluzioni $ s_(1,2) $ dell'equazione caratteristica associata $ s^2+as+b=0 $ all'integrale generale $ IG(EO)={xrarr e^(alpha x)(c_1cos(beta x)+c_2sen(beta x))|c_1,c_2in R} $ . A lezione l'impostazione è stata questa: si devono trovare due soluzioni nella forma $ e^(sx) $ con $ s $ soluzione dell'equazione caratteristica associata. È noto $ Delta < 0 $ , quindi $ s_(1,2)=(-a+- isqrt(-Delta ))/2 $ . Se, per semplificare, chiamiamo $ alpha =-a/2 $ e $ beta=sqrt(-Delta )/2 $, avremo $ s_(1,2)=alpha +- ibeta $. Ora, andando a sostituire, due soluzioni dell'equazione differenziale dovrebbero essere $ y=e^((alpha +ibeta )x) $ e $ y=e^((alpha -ibeta )x) $ . La prima può diventare $ y=e^(alpha x)e^(ibeta x) $ , cioè, mediante l'uguaglianza di Eulero, $ y=e^(alphax)(cos(betax)+isen(betax)) $ , ma non capisco proprio come da qui si possa arrivare a $ y=e^(alphax)cos(betax) $ , cioè come faccia a "sparire" la parte con l'unità immaginaria $ i $ . Analogamente non capisco come si faccia ad arrivare da $ y=e^((alpha-ibeta)x) $ a $ y=e^(alphax)sen(betax) $ .
Risposte
Scusate, mi sono accorto di aver fatto un errore nel post di ieri. All'inizio ho scritto che eravamo nel caso di equazioni differenziali lineari di II ordine omogenee a coefficienti costanti la cui equazione caratteristica avesse $ Delta=0 $ . Volevo invece scrivere equazioni differenziali ecc. la cui equazione caratteristica avesse $ Delta<0 $.
Grazie in anticipo a tutti per la disponibilità.
Grazie in anticipo a tutti per la disponibilità.
Sono equazioni lineari, quindi se hai due soluzioni ogni loro combinazione lineare è soluzione. Inoltre, anche se non lo hai specificato, $a$ e $b$ sono reali, quindi se $f$ è una soluzione pure $\overline{f}$ è una soluzione. E quindi anche
\[
\Re f = \frac{f+\overline{f}}{2},\qquad \Im f= \frac{f-\overline{f}}{2i}
\]
sono soluzioni.
\[
\Re f = \frac{f+\overline{f}}{2},\qquad \Im f= \frac{f-\overline{f}}{2i}
\]
sono soluzioni.
Grazie mille dissonance, mi hai proprio chiarito le idee! C'è solo una cosa del tuo post che non ho capito: perdona l'ignoranza ma cosa sono quei due simboli a forma di R e I stilizzate che hai usato per indicare la prima e la seconda soluzione?
Parte reale e parte immaginaria.
Allora scusa ma ero stato un po' precipitoso a dire che mi era tutto chiaro. Avrei ancora due domande: 1) perché $ (f-overline f)/(2i) $ è una combinazione lineare di $ f $ e $ overline f $ ? Intendo dire: sono ancora all'inizio dei miei studi universitari, ma le combinazioni le ho sempre viste fatte con coefficienti reali, e $ 1/(2i) $ non è un coefficiente reale 2) perché parli di parte reale e di parte immaginaria? Non basta parlare di due soluzioni linearmente indipendenti?
P.S.: quello che mi interessa di più è la risposta alla prima domanda, se per rispondere alla seconda bisogna tirare in ballo conoscenze approfondite sui numeri complessi o sulle equazioni differenziali o altri metodi risolutivi particolari non importa che tu mi dia una spiegazione dettagliata
P.S.: quello che mi interessa di più è la risposta alla prima domanda, se per rispondere alla seconda bisogna tirare in ballo conoscenze approfondite sui numeri complessi o sulle equazioni differenziali o altri metodi risolutivi particolari non importa che tu mi dia una spiegazione dettagliata
1) Per non sapere né leggere né scrivere, supponi che $f_1$ e $f_2$ siano due soluzioni della tua equazione differenziale. Se $z_1$ e $z_2$ sono due numeri complessi, è vero o no che $z_1 f_1 + z_2 f_2$ è ancora una soluzione? Io dico di si, perché se scriviamo $L(g)=g''+ag'+bg$ allora $L(z_1f_1 + z_2f_2)=z_1L(f_1)+z_2L(f_2)=z_1*0 + z_2*0=0$.
2) Tiro in ballo parte reale e immaginaria perché la domanda era: come si arriva dal sapere che $e^{(\alpha \pm i\beta) x}$ sono soluzioni al sapere che $e^{\alpha x}\cos \beta x$ e $e^{\alpha x}\sin \beta x$ sono soluzioni? La risposta è che le seconde sono proprio la parte reale e la parte immaginaria di $e^{(\alpha +i\beta)x}$, o se preferisci, le seconde sono combinazioni lineari delle prime.
2) Tiro in ballo parte reale e immaginaria perché la domanda era: come si arriva dal sapere che $e^{(\alpha \pm i\beta) x}$ sono soluzioni al sapere che $e^{\alpha x}\cos \beta x$ e $e^{\alpha x}\sin \beta x$ sono soluzioni? La risposta è che le seconde sono proprio la parte reale e la parte immaginaria di $e^{(\alpha +i\beta)x}$, o se preferisci, le seconde sono combinazioni lineari delle prime.
Ok, ora direi di esserci. Grazie ancora dissonance!
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