Integrale generale equazione differenziale di primo ordine
Ho la seguente equazione :
$ y'(t)-1/ty(t)=2t^2 $
Il coefficiente è la funzione $ -1/t $ e una sua primitiva è $ -logt $ per cui l'integrale generale dell'omogenea associata è $ c*e^(logt)=c*t $. Se $ d in RR $ , la funzione costantemente uguale a $ d $ è soluzione di $ y'(t)-1/ty(t)=2t^2 $ se e solo se $ -1/t*d=2t^2 $ per tanto $ d=-2t^3 $ . Quindi mi esce che l'integrale generale della non omogenea è $ ct-2t^3 $ ma la soluzione riportata nel testo è $ ct+t^3 $ Perchè????
$ y'(t)-1/ty(t)=2t^2 $
Il coefficiente è la funzione $ -1/t $ e una sua primitiva è $ -logt $ per cui l'integrale generale dell'omogenea associata è $ c*e^(logt)=c*t $. Se $ d in RR $ , la funzione costantemente uguale a $ d $ è soluzione di $ y'(t)-1/ty(t)=2t^2 $ se e solo se $ -1/t*d=2t^2 $ per tanto $ d=-2t^3 $ . Quindi mi esce che l'integrale generale della non omogenea è $ ct-2t^3 $ ma la soluzione riportata nel testo è $ ct+t^3 $ Perchè????
Risposte
Ciao
Se $ d in RR $ non potrai avere che risulti poi $ d=-2t^3 $ con $t$ variabile.
Che la soluzione da te individuata non sia quella corretta lo puoi sempre verificare perchè posto $y(t)=ct-2t^3$ avrai $y'(t)=c-6t^2$ valori che sostituiti nell'equazione differenziale originaria non danno luogo ad un'uguaglianza.
Se $ d in RR $ non potrai avere che risulti poi $ d=-2t^3 $ con $t$ variabile.
Che la soluzione da te individuata non sia quella corretta lo puoi sempre verificare perchè posto $y(t)=ct-2t^3$ avrai $y'(t)=c-6t^2$ valori che sostituiti nell'equazione differenziale originaria non danno luogo ad un'uguaglianza.
e allora come dovrei procedere????
Applicando la formula "preconfezionata" relativa alle equazioni differenziali del primo ordine. Basta sostituire in essa i valori della tua equazione.
quale sarebbe la formula preconfezionata????
Ma perché ricordarsi a memoria una formula così stampalata? Meglio fare qualche passaggio volta per volta. Quell'equazione si può integrare a variabili separabili oppure moltiplicando ambo i membri per un opportuno fattore integrante. Personalmente preferisco quest'ultimo metodo.
Per cui sarebbe $ e^(-A(t))*y'(t)-1/t*e^(-A(t))=2t^2*e^(-A(t)) $ dove $ A(t) $ è la primitiva di $ 1/t $ ovverosia $ log|t| $ per cui otteniamo:
$ -t*y'(t)-1/t*(-t)*y(t)=2t^2*(-t)=-t*y'(t)+y(t)=-2t^3 $ Da cui $ y(t)=t*y'(t)-2t^3 $ Adesso non riesco a capire quell' $ y'(t) $. Arrivato a questo punto cosa debbo fare????
$ -t*y'(t)-1/t*(-t)*y(t)=2t^2*(-t)=-t*y'(t)+y(t)=-2t^3 $ Da cui $ y(t)=t*y'(t)-2t^3 $ Adesso non riesco a capire quell' $ y'(t) $. Arrivato a questo punto cosa debbo fare????
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