Integrale generale equazione differenziale
Considero l'equazione differenziale $y'=(y^2-y)log(2+x)$ e ne voglio calcolare l'integrale generale.
Si tratta di un'equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili.
Sicuramente ho la condizione $x>2$, dovuta al logaritmo.
Per poter dividere a destra e a sinistra per $(y^2-y)$ devo aggiungere qualche condizione?
Trovo dunque $(y')/(y^2-y)=log(2+x)$ ed integrando su un intevallo $[x_0,x]$ ottengo $log|(y-1)/y|=c+(2+x)log(2+x)-x$ dove $c\inRR$.
Applico a sinistra e a destra l'esponenziale e ho $|(y-1)/y|=e^c*e^((2+x)log(2+x))*e^(-x)$.
Ma da qui come posso ricavarmi l'integrale generale?
Si tratta di un'equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili.
Sicuramente ho la condizione $x>2$, dovuta al logaritmo.
Per poter dividere a destra e a sinistra per $(y^2-y)$ devo aggiungere qualche condizione?
Trovo dunque $(y')/(y^2-y)=log(2+x)$ ed integrando su un intevallo $[x_0,x]$ ottengo $log|(y-1)/y|=c+(2+x)log(2+x)-x$ dove $c\inRR$.
Applico a sinistra e a destra l'esponenziale e ho $|(y-1)/y|=e^c*e^((2+x)log(2+x))*e^(-x)$.
Ma da qui come posso ricavarmi l'integrale generale?
Risposte
Devi imporre $y^2-y\ne 0$ da cui segue (facile verifica) che $y=0,\ y=2$ sono soluzioni particolari.
Alla fine ottieni
${y-1}/y=c(2+x)^{2+x}e^{-2}$
e da qui trovare $y$ è abbastanza semplice.
Alla fine ottieni
${y-1}/y=c(2+x)^{2+x}e^{-2}$
e da qui trovare $y$ è abbastanza semplice.
Quindi in generale, ogni volta che pongo $y!=\bary$ devo verificare se $y=\bary$ è una soluzione particolare?
Il modulo in base a cosa l'hai potuto togliere?
Il modulo in base a cosa l'hai potuto togliere?
Ma sul serio me lo stai chiedendo? Domanda: per quale numero non si può dividere? 
Ovviamente non si può dividere per zero, per questo chiedevo se andavano poste le condizioni $y!=0$ e $y!=1$, e mi hai dato conferma.
Dunque ti chiedevo se in generale i valori di $y$ che escludo per poter effettivamente separare le variabili corrispondono sempre a potenziali soluzioni particolari costanti.
E soprattutto la cosa che non mi è chiara è in base a cosa si può togliere il modulo, perchè una volta tolto come hai detto è semplice ricavare $y$ ma non mi è chiaro il motivo per il quale questa operazione è lecita.
Dunque ti chiedevo se in generale i valori di $y$ che escludo per poter effettivamente separare le variabili corrispondono sempre a potenziali soluzioni particolari costanti.
E soprattutto la cosa che non mi è chiara è in base a cosa si può togliere il modulo, perchè una volta tolto come hai detto è semplice ricavare $y$ ma non mi è chiaro il motivo per il quale questa operazione è lecita.
Forse può interessarti uno dei teoremi di unicità per le variabili separabili, che afferma:
Sia
${ ( y'(x)=a(x)b(y(x)) ),( y(x_0)=y_0 ):}$
dove
$a:I_(x_0)->RR text( continua)$
$b:I_(y_0)->RR text( continua)$
$b(y_0)ne0$
Allora $EE delta>0:forall x in (x_0-delta, x_0+delta) text( ) EE! text( ) y=y(x)$ che risolve il problema.
In aggiunta, supponendo:
$a:I_(x_0)->RR text( continua)$
$b:I_(y_0)->RR text( continua)$
$b(y_0)=0$
se è possibile definire una funzione costante $y(x)=y_0=>y'(x)=0:a(x)b(y(x))=a(x)b(y_0)=0$ allora
$y$ verifica l'equazione e quindi $y=y_0$ è una soluzione.
Sia
${ ( y'(x)=a(x)b(y(x)) ),( y(x_0)=y_0 ):}$
dove
$a:I_(x_0)->RR text( continua)$
$b:I_(y_0)->RR text( continua)$
$b(y_0)ne0$
Allora $EE delta>0:forall x in (x_0-delta, x_0+delta) text( ) EE! text( ) y=y(x)$ che risolve il problema.
In aggiunta, supponendo:
$a:I_(x_0)->RR text( continua)$
$b:I_(y_0)->RR text( continua)$
$b(y_0)=0$
se è possibile definire una funzione costante $y(x)=y_0=>y'(x)=0:a(x)b(y(x))=a(x)b(y_0)=0$ allora
$y$ verifica l'equazione e quindi $y=y_0$ è una soluzione.
Grazie mille, ora il discorso delle soluzioni costanti mi è chiaro 
Riguardo il fatto di aver tolto il modulo...forse ciampax ha prima tolto il modulo scrivendo
$|(y-1)/y|=e^ce^((2+x)log(2+x))e^(-x)$
$(y-1)/y=+-e^ce^((2+x)log(2+x))e^(-x)$
e poi ha definito $k=+-e^c$ e dunque
$(y-1)/y=ke^((2+x)log(2+x))e^(-x)$ con $k\inRR\{0}$ perchè $k$ non è mai nullo.
Possibile?
Riguardo il fatto di aver tolto il modulo...forse ciampax ha prima tolto il modulo scrivendo
$|(y-1)/y|=e^ce^((2+x)log(2+x))e^(-x)$
$(y-1)/y=+-e^ce^((2+x)log(2+x))e^(-x)$
e poi ha definito $k=+-e^c$ e dunque
$(y-1)/y=ke^((2+x)log(2+x))e^(-x)$ con $k\inRR\{0}$ perchè $k$ non è mai nullo.
Possibile?
Il senso di eliminare il modulo senza usare il $\pm$ è proprio quello: tu hai $|f(y)|=cg(x)$ dove $c$ è costante arbitraria positiva e $g(x)>0$. Se ora tolgo il modulo dovrei scrivere $f(y)=\pmc g(x)$, tuttavia essendo $c$ arbitraria il segno viene assorbito da tale quantità e posso anche fare a meno di tenerlo in considerazione.
Ottimo, grazie!
Ed è quindi corretto specificare che $k$ (quello che tu hai chiamato $c$) deve essere non nullo giusto?
Ed è quindi corretto specificare che $k$ (quello che tu hai chiamato $c$) deve essere non nullo giusto?
Yes.
Ok, grazie ancora a entrambi 
Mi è venuto ancora un dubbio...
Quando ricavo l'integrale generale ho che
$1-1/y=c(2+x)^(2+x)e^(-x)$
$1/y=1-c(2+x)^(2+x)e^(-x)$
ma da qui per poter ricavare $y$ dovrei avere che $1-c(2+x)^(2+x)e^(-x)!=0$ ma questa condizione non è sempre verificata...dunque come mi comporto?
Quando ricavo l'integrale generale ho che
$1-1/y=c(2+x)^(2+x)e^(-x)$
$1/y=1-c(2+x)^(2+x)e^(-x)$
ma da qui per poter ricavare $y$ dovrei avere che $1-c(2+x)^(2+x)e^(-x)!=0$ ma questa condizione non è sempre verificata...dunque come mi comporto?
Quello è semplicemente un problema relativo all'intervallo massimale su cui è definita la soluzione, ovvero relativo al dominio della funzione stessa. A meno che tu non abbia richieste specifiche in merito, semplicemente dovrai tenere a mente che il dominio di quella soluzione potrebbe non essere tutto $RR$ (ma lo è sicuramente se $c<0$, non trovi?).
In ogni caso osserva pure che la tua funzione è definita su un dominio $D\subset (-2,+\infty)$, per cui se proprio vuoi essere pignolo dovresti andare a studiarti tutti i vari domini, ecc....
In ogni caso osserva pure che la tua funzione è definita su un dominio $D\subset (-2,+\infty)$, per cui se proprio vuoi essere pignolo dovresti andare a studiarti tutti i vari domini, ecc....
Ah ok, dunque quello che ho trovato è l'integrale generale che poi avrà un suo dominio in funzione di $c$...grazie ancora!
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