Integrale generale e particolare dell'eq.differenziale
ciao a tutti, volevo inizialmente fare i complimenti per il sito che mi è risultato molto utile in momenti di crisi! 
volevo un'aiuto sul procedimento di risoluzione della seguente equazione differenziale
l'esercizio è il seguente: determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale $ y'+y=e^{2t} . $ inoltre, se esiste, determinare un integrale particolare dell'equazione che abbia un punto stazionario in t=0
per quanto riguarda l'integrale generale ho risolto nel seguente modo(sperando sia giusto):
y'+y=0
dy/dx=-y
dy/-y=dx che integrando diventa: -ln(y)=x+c e risolvendo $ y= -k e^{x} $
per quanto riguarda l'integrale particolare invece sono praticamente fermo
spero di aver postato nella sezione giusta!
grazie in anticipo per il vostro aiuto
volevo un'aiuto sul procedimento di risoluzione della seguente equazione differenziale
l'esercizio è il seguente: determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale $ y'+y=e^{2t} . $ inoltre, se esiste, determinare un integrale particolare dell'equazione che abbia un punto stazionario in t=0
per quanto riguarda l'integrale generale ho risolto nel seguente modo(sperando sia giusto):
y'+y=0
dy/dx=-y
dy/-y=dx che integrando diventa: -ln(y)=x+c e risolvendo $ y= -k e^{x} $
per quanto riguarda l'integrale particolare invece sono praticamente fermo
spero di aver postato nella sezione giusta!
grazie in anticipo per il vostro aiuto
Risposte
Ciao! Benvenuto nel forum. Per prima cosa ti prego di scrivere tutte le formule tra i simboli \$, l'effetto è molto più leggibile. Ad esempio la tua equazione è meglio scriverla così:
$y'+y=e^(2t)$.
Usa per favore il pulsante "MODIFICA" per correggere.
Per quanto riguarda il procedimento, con il tuo metodo trovi l'integrale generale dell'equazione omogenea associata $y'+y=0$. Ma per questo tipo di equazioni (lineari del primo ordine in forma normale) non è necessario fare tutto questo tran tran. Puoi tranquillamente risolvere in un colpo solo l'equazione completa, usando il metodo della separazione delle variabili oppure quello del fattore integrante, che ti illustro in fretta:
Sia data l'equazione $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$, dove $a$, $b$ sono funzioni continue in un intervallo. Presa una funzione $A$ tale che $A'(x)=a(x)$ (una primitiva di $A$), possiamo moltiplicare ambo i membri per la funzione sempre positiva $e^(A(x))$, ottenendo l'equazione equivalente
$e^(A(x))y'(x)+e^(A(x))a(x)y(x)=e^(A(x))b(x)$; e ora osserviamo che il primo membro è la derivata di $e^(A(x))y(x)$, quindi l'equazione diventa
$d/(dx)(e^(A(x))y(x))=e^(A(x))b(x)$
che si può integrare rispetto ad $x$.
$y'+y=e^(2t)$.
Usa per favore il pulsante "MODIFICA" per correggere.
Per quanto riguarda il procedimento, con il tuo metodo trovi l'integrale generale dell'equazione omogenea associata $y'+y=0$. Ma per questo tipo di equazioni (lineari del primo ordine in forma normale) non è necessario fare tutto questo tran tran. Puoi tranquillamente risolvere in un colpo solo l'equazione completa, usando il metodo della separazione delle variabili oppure quello del fattore integrante, che ti illustro in fretta:
Sia data l'equazione $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$, dove $a$, $b$ sono funzioni continue in un intervallo. Presa una funzione $A$ tale che $A'(x)=a(x)$ (una primitiva di $A$), possiamo moltiplicare ambo i membri per la funzione sempre positiva $e^(A(x))$, ottenendo l'equazione equivalente
$e^(A(x))y'(x)+e^(A(x))a(x)y(x)=e^(A(x))b(x)$; e ora osserviamo che il primo membro è la derivata di $e^(A(x))y(x)$, quindi l'equazione diventa
$d/(dx)(e^(A(x))y(x))=e^(A(x))b(x)$
che si può integrare rispetto ad $x$.
ora mi tocca solo continuare ad applicarlo all'esame!
grazie mille!!
grazie mille!!
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