Integrale generale di un'equazione differenziale lineare
Ciao a tutti,
qualcuno potrebbe illuminarmi sulla seguente dimostrazione di cui non capisco l'ultimo passaggio?
Riporto la dimostrazione tratta da "Elementi di Analisi Matematica II" di Fusco-Marcellini-Sbordone.
Consideriamo l'equazione differenziale lineare di ordine n, di tipo normale:
$y^((n)) + a_(n-1)(x)y^((n-1)) + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x)$ (1)
e l'omogenea associata:
$y^((n)) + a_(n-1)(x)y^((n-1)) + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0$ (2)
La (1) si dice lineare in quanto l'operatore L tale che:
$L(u) = u^((n)) + a_(n-1)(x)u^((n-1)) + ... + a_1(x)u' + a_0(x)u$
è lineare: $L(au + bv) = aL(u) + bL(v)$
E fino a qui tutto ok.
Se u e v sono due soluzioni dell'equazione omogenea (2): $L(u) = L(v) = 0$
anche ogni loro combinazione lineare è soluzione dell'omogenea, infatti:
$L(au + bv) = aL(u) + bL(v) = 0$
Ora consideriamo u e v due soluzioni della equazione non omogenea, quindi:
$L(u) = L(v) = g$
Quindi la differenza $w = u - v$ è una soluzione dell'equazione omogenea associata, infatti:
$L(w) = 0$
E anche fino a qui tutto ok. Ora però viene detto:
Ciò implica che, per ottenere tutte le soluzioni dell'equazione differenziale non omogenea, occorre sommare una soluzione di tale equazione alla famiglia di tutte le soluzioni dell'equazione omogenea associata.
E questo non mi è chiaro.. per 2 motivi:
1) Si da per scontato che quella combinazione lineare delle due soluzioni dell'omogenea scritta precedentemente rappresenti l'insieme di TUTTE le soluzioni? E come possiamo ammetterlo? Non vi possono essere delle altre soluzioni particolari che non rientrano in quella combinazione?
2) Nella seconda parte della dimostrazione abbiamo detto che $w = u - v$ è una soluzione dell'equazione omogenea associata,
quindi $u = w + v$ cioè che UNA soluzione particolare della completa è uguale ad UNA soluzione particolare dell'omogoenea più UNA soluzione particolare della completa.. quindi dove rientra la famiglia di tutte le soluzioni dell'omogenea?
Grazie per eventuali chiarimenti.
qualcuno potrebbe illuminarmi sulla seguente dimostrazione di cui non capisco l'ultimo passaggio?
Riporto la dimostrazione tratta da "Elementi di Analisi Matematica II" di Fusco-Marcellini-Sbordone.
Consideriamo l'equazione differenziale lineare di ordine n, di tipo normale:
$y^((n)) + a_(n-1)(x)y^((n-1)) + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x)$ (1)
e l'omogenea associata:
$y^((n)) + a_(n-1)(x)y^((n-1)) + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0$ (2)
La (1) si dice lineare in quanto l'operatore L tale che:
$L(u) = u^((n)) + a_(n-1)(x)u^((n-1)) + ... + a_1(x)u' + a_0(x)u$
è lineare: $L(au + bv) = aL(u) + bL(v)$
E fino a qui tutto ok.
Se u e v sono due soluzioni dell'equazione omogenea (2): $L(u) = L(v) = 0$
anche ogni loro combinazione lineare è soluzione dell'omogenea, infatti:
$L(au + bv) = aL(u) + bL(v) = 0$
Ora consideriamo u e v due soluzioni della equazione non omogenea, quindi:
$L(u) = L(v) = g$
Quindi la differenza $w = u - v$ è una soluzione dell'equazione omogenea associata, infatti:
$L(w) = 0$
E anche fino a qui tutto ok. Ora però viene detto:
Ciò implica che, per ottenere tutte le soluzioni dell'equazione differenziale non omogenea, occorre sommare una soluzione di tale equazione alla famiglia di tutte le soluzioni dell'equazione omogenea associata.
E questo non mi è chiaro.. per 2 motivi:
1) Si da per scontato che quella combinazione lineare delle due soluzioni dell'omogenea scritta precedentemente rappresenti l'insieme di TUTTE le soluzioni? E come possiamo ammetterlo? Non vi possono essere delle altre soluzioni particolari che non rientrano in quella combinazione?
2) Nella seconda parte della dimostrazione abbiamo detto che $w = u - v$ è una soluzione dell'equazione omogenea associata,
quindi $u = w + v$ cioè che UNA soluzione particolare della completa è uguale ad UNA soluzione particolare dell'omogoenea più UNA soluzione particolare della completa.. quindi dove rientra la famiglia di tutte le soluzioni dell'omogenea?
Grazie per eventuali chiarimenti.
Risposte
Nessuno?
Non è che alla fine della dimostrazione quando scrivo:
$w = u - v$
posso considerare u o v come l'integrale generale dell'omogenea?
Non è che alla fine della dimostrazione quando scrivo:
$w = u - v$
posso considerare u o v come l'integrale generale dell'omogenea?
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