Integrale generale

[realcla91]

Salve ragazzi,
ho un problema con il calcolo di un integrale generale... qualcuno può aiutarmi?

La traccia è:
Calcolare l'integrale generale di:
$y' = \frac{sqrt(x) +1}{x+1}(y^2+2y+2)$.

Se non sbaglio dovrei applicare la formula:
$y(x) = e^(A(x)) int_() e^(-A(x)) b(x) dx$
il problema è che non riesco a trovare la soluzione...
L'altra idea che avevo era quella di svolgere l'esercizio a variabili separabili

Qualcuno può aiutarmi nella risoluzione?

[pilloeffe]

Ciao realcla91,

La seconda che hai detto:

"realcla91":L'altra idea che avevo era quella di svolgere l'esercizio a variabili separabili

Integrando si ha:

$\int frac{dy}{y^2 + 2y + 2} = \int frac{sqrt{x} + 1}{x + 1} dx$

Si tratta dunque di risolvere i due integrali. Per il secondo porrei $t := sqrt{x}$, per il primo osserva che $y^2 + 2y + 2 = (y + 1)^2 + 1$...

[realcla91]

Grazie mille pilloeffe!

[realcla91]

eh ma continua a non uscirmi...
il primo integrale (e cioè $int_() dy/(y^2+2y+2)$ mi esce come dovrebbe e cioè $tan^-1(y+1)+c$)
mentre il secondo integrale mi esce così:
$int_() (\sqrt{x}+1)/(x+1)$
Ponendo $\sqrt{x} = t$
$int_() (t+1)/(t^2+1) dt$
$int_() ((t)/(t^2+1) + 1/(t^2+1)) dt$
$int_() (t)/(t^2+1) dt$ + $int_() (1)/(t^2+1) dt$
ho che di questo il primo integrale è
$int_() (t)/(t^2+1) dt$
Sostituendo u=t^2+1 e du=2tdt ottengo:
$1/2 int_() 1/u du$
$1/2 log(t^2+1)+c$
mentre il secondo integrale sarà
$int_() (1)/(t^2+1) dt$
$tg^-1(t)$
Quindi sommando le due soluzioni ottenute dalla scomposizione avrò:
$1/2 log(t^2+1) + tg^-1(t)dt$
ricostituendo t con la radice di x avrò
$1/2 log(x+1) + tg^-1 \sqrt{x} dx$

Invece wolframalpha (l'ho usato come verifica) mi dice che deve essere:
$int_() (\sqrt{x}+1)/(x+1)$ $= 2\sqrt{x} +log(x+1)-2tan^-1 \sqrt{x} + c$

[edmz]

"realcla91":
mentre il secondo integrale mi esce così:
$int_() (\sqrt{x}+1)/(x+1)$
Ponendo $\sqrt{x} = t$
$int_() (t+1)/(t^2+1) \color{red}{dt}$

E' errato.

[pilloeffe]

Ciao realcla91,

L'errore è proprio all'inizio:

$\int frac{sqrt{x} + 1}{x + 1}dx $

Posto $t := sqrt{x} \implies dt = frac{1}{2sqrt{x}}dx \implies dx = 2t dt $, per cui si ha:

$\int frac{sqrt{x} + 1}{x + 1}dx = 2\int frac{t^2 + t}{t^2 + 1}dt = 2\int frac{t^2 + 1 + t - 1}{t^2 + 1}dt = 2\int (1 + frac{t}{t^2 + 1} - frac{1}{t^2 + 1})dt =$
$= 2\int dt + \int frac{2t}{t^2 + 1} dt - 2\int frac{1}{t^2 + 1}dt $

Ora dovresti riuscire a proseguire autonomamente...

[realcla91]

È errato perché sarebbe 2dt al posto del solo dt?

Edit: ok hai risolto il mio problema poco prima che postassi la risposta

Grazie mille a tutti e due!