Integrale generale

[laurascara1]

Salve ragazzi. Ho un problema su un esercizio.
Determinare l'integrale generale di
$y''+2y'+y=e^(-x)$
A me la soluzione particolare della non omogenea viene:
$x^2*e^(-x)$
Però non avendo i parametri A e B come vado avanti?

[mazzarri1]

ciao Laura

Prima risolviamo la omogenea associata

$k^2+2k+1=0$

soluzione doppia $k_1=k_2=-1$ (molteplicità pari a 2)

quindi soluzione omogenea è

$y=(c_1x+c_2)e^-x$

poi ricorda sempre che sai risolvere la NON omogenea solo se al secondo membro hai una cosa tipo

$e^(alpha x) P(x) cos (beta x)$

ed è il tuo caso!! con

$alpha=-1$
$beta=0$
$P(x)=0$

devi vedere anzitutto quanto fa il numero complesso $z=alpha+ibeta$

nel tuo caso fa $z=-1$

e devi vedere SE è soluzione della omogenea associata e con quale molteplicità... si, lo è e con molteplicità 2

Allora la soluzione particolare da aggiungere è

$y* = x^m e^(alphax) (Q1(x)cos(betax)+Q2(x)sin(betax))$

con $m$ la molteplicità e Q1 e Q2 polinomi generici di grado pari al P(x) precedente... cioè zero! Quindi sono costanti

nel tuo caso abbiamo allora soluzione particolare

$y*=x^2 e^-x A$

Ora devi trovare la costante $A$ e per farlo derivi due volte

$y*'= A x e^-x (2-x)$

$y*''=A e^-x (x^2-4x+2)$

Sostituiamo in quella di partenza (che deve valere anche per $y*$)

$y*''+2y*'+y*=e^-x$

cioè

$A e^-x (x^2-4x+2) + 2 A x e^-x (2-x) + A x^2 e^-x = e^-x$

risolvi e dovrebbe venire (controlla che sono una cippa coi calcoli)

$A=1/2$

quindi la particolare è

$y*=1/2 x^2 e^-x $

e la generale è

$y=(c_1x+c_2)e^-x + 1/2 x^2 e^-x $

Spero di non aver fatto errori...

per controllare di non aver fatto errori, oltre a controllare il risultato sul libro, puoi derivare due volte la generale e sostituire in quella di partenza, deve tornare tutto...

è tutto chiaro? chiedi se non ti torna qualcosa

ciao!