Integrale funzione trigonometrica moltiplicata per potenza di binomio.
Ho difficoltà a completare il seguente esercizio:
sia $\gamma(\theta)$ la curva di equazioni parametriche:
$\gamma(\theta)=((\theta^2*cos(\theta)-2*\theta*sen(\theta)),(\theta^2*sen(\theta)+2*\theta*cos(\theta)),(\theta^3+6*\theta)), \theta in [0,2pi]$
Calcolare la massa totale di $\gamma(t)$ e le coordinate del baricentro di $\gamma(\theta)$ rispetto alla densità $\delta(\theta)=\theta$
Per quanto riguarda la massa nessun problema. Mi risulta $M=sqrt(10)*4*pi^2*(pi^2+1)$, conformemente al risultato fornito dal testo.
Non riesco invece a uscire dall'integrale per calcolare le coordinate del baricentro sin dalla prima $x_G$.
$x_G=1/M*int_0^(2pi)\delta(\theta)*||\gamma'(\theta)||*x(\theta)d\theta$
essendo:
$\gamma'(\theta)=(\theta^2+2)((-sen(\theta)),(cos(\theta)),(3))$
$M*x_G=int_0^(2pi)(sqrt(10)*(\theta^2+2)*\theta*(\theta^2cos(\theta)-2\theta*sen(\theta)))d\theta$
C'è un modo per farlo senza tanta pena? Il libro dice che alla fine viene
$G=((-74+28pi^2)/(1+pi^2),(-74+52pi^2-8pi^4)/(pi+pi^3),(8pi(35+56pi^2+20pi^4))/(35*(1+pi^2)))$
Io ho pensato di farlo per parti ma viene una cosa noiossissima. Magari occorre notare qualcosa non mi viene in mente niente.
sia $\gamma(\theta)$ la curva di equazioni parametriche:
$\gamma(\theta)=((\theta^2*cos(\theta)-2*\theta*sen(\theta)),(\theta^2*sen(\theta)+2*\theta*cos(\theta)),(\theta^3+6*\theta)), \theta in [0,2pi]$
Calcolare la massa totale di $\gamma(t)$ e le coordinate del baricentro di $\gamma(\theta)$ rispetto alla densità $\delta(\theta)=\theta$
Per quanto riguarda la massa nessun problema. Mi risulta $M=sqrt(10)*4*pi^2*(pi^2+1)$, conformemente al risultato fornito dal testo.
Non riesco invece a uscire dall'integrale per calcolare le coordinate del baricentro sin dalla prima $x_G$.
$x_G=1/M*int_0^(2pi)\delta(\theta)*||\gamma'(\theta)||*x(\theta)d\theta$
essendo:
$\gamma'(\theta)=(\theta^2+2)((-sen(\theta)),(cos(\theta)),(3))$
$M*x_G=int_0^(2pi)(sqrt(10)*(\theta^2+2)*\theta*(\theta^2cos(\theta)-2\theta*sen(\theta)))d\theta$
C'è un modo per farlo senza tanta pena? Il libro dice che alla fine viene
$G=((-74+28pi^2)/(1+pi^2),(-74+52pi^2-8pi^4)/(pi+pi^3),(8pi(35+56pi^2+20pi^4))/(35*(1+pi^2)))$
Io ho pensato di farlo per parti ma viene una cosa noiossissima. Magari occorre notare qualcosa non mi viene in mente niente.
Risposte
Noia e calcoli vanno sovente insieme.
Abbracciati la croce e fai i conti.
Abbracciati la croce e fai i conti.
Per completezza alla metto il risultato del primo integrale, casomai qualcuno avesse il medesimo eserciziario (Munarini):
Dato che i programmi che risolvono gli integrali danno il risultato con tutte le semplificazioni già fatte.
$sqrt(10)*int[(\theta^2+2)*(\theta^2cos(\theta)-2\thetasen(\theta))*\theta ]d\theta=$
$sqrt(10)/4 *(\theta^2+2)^2*\theta*(\theta*cos(\theta)-2sen(\theta))-sqrt(10)/4*(\theta^2+2)^3*cos(\theta)+(3*sqrt(10))/2*\theta*(\theta^2+2)^2*sen(\theta)+3sqrt(10)/2*cos(\theta)*(\theta^2+2)*(2+5\theta^2)-3*sqrt(10)*\theta(10\theta^2+12)*sen(\theta)-3*sqrt(10)*(30\theta^2+12)*cos(\theta)+3*sqrt(10)*60*(\theta*sen(\theta)+cos(\theta))$
Verso il 19^ integrale per parti...
https://www.youtube.com/watch?v=u62a5nlL76I
Dato che i programmi che risolvono gli integrali danno il risultato con tutte le semplificazioni già fatte.
$sqrt(10)*int[(\theta^2+2)*(\theta^2cos(\theta)-2\thetasen(\theta))*\theta ]d\theta=$
$sqrt(10)/4 *(\theta^2+2)^2*\theta*(\theta*cos(\theta)-2sen(\theta))-sqrt(10)/4*(\theta^2+2)^3*cos(\theta)+(3*sqrt(10))/2*\theta*(\theta^2+2)^2*sen(\theta)+3sqrt(10)/2*cos(\theta)*(\theta^2+2)*(2+5\theta^2)-3*sqrt(10)*\theta(10\theta^2+12)*sen(\theta)-3*sqrt(10)*(30\theta^2+12)*cos(\theta)+3*sqrt(10)*60*(\theta*sen(\theta)+cos(\theta))$
"gugo82":
Abbracciati la croce e fai i conti.
Verso il 19^ integrale per parti...
https://www.youtube.com/watch?v=u62a5nlL76I
Ciao SirDanielFortesque,
A parte inessenziali costanti moltiplicative hai l'integrale indefinito seguente:
$ \int (t^2+2) t(t^2cos(t)-2t sin(t)) dt = \int (t^2+2) (t^3cos(t)-2t^2 sin(t)) dt = $
$ = \int (t^5cos(t)-2t^4 sin(t) + 2t^3 cos(t) -4t^2 sin(t)) dt $
ove è stato usato $t $ invece di $\theta $ per pura comodità di scrittura...
Quindi fondamentalmente ti interessa risolvere gli integrali seguenti:
$ I_s(n) := \int t^n sin(t) dt $
ove $n = 2, 4 $ (pari) e
$ I_c(n) := \int t^ncos(t) dt $
ove $n = 3, 5 $ (dispari).
Per risolvere questi purtroppo non c'è molto da fare, si procede per integrazioni per parti successive in modo da abbassare il grado della $t$. Integrando due volte per parti però si ottengono delle abbastanza utili relazioni di ricorrenza:
$ I_s(n) = -t^n cos(t) + n\int t^{n - 1} cos(t) dt = -t^n cos(t) + n[t^{n - 1}sin(t) - (n -1)\int t^{n - 2} sin(t) dt] = $
$ = -t^n cos(t) + nt^{n - 1}sin(t) - n(n -1)I_s(n - 2) $
e
$ I_c(n) = t^n sin(t) - n\int t^{n - 1} sin(t) dt = t^n sin(t) - n[-t^{n - 1}cos(t) + (n -1)\int t^{n - 2} cos(t) dt] = $
$ = t^n sin(t) + nt^{n - 1}cos(t) - n(n -1)I_c(n - 2) $
ove $n > 2 $. Queste, applicate ripetutamente, ti consentono di trovare tutti gli integrali che ti occorrono. Controllale perché potrei aver commesso qualche errore...
A parte inessenziali costanti moltiplicative hai l'integrale indefinito seguente:
$ \int (t^2+2) t(t^2cos(t)-2t sin(t)) dt = \int (t^2+2) (t^3cos(t)-2t^2 sin(t)) dt = $
$ = \int (t^5cos(t)-2t^4 sin(t) + 2t^3 cos(t) -4t^2 sin(t)) dt $
ove è stato usato $t $ invece di $\theta $ per pura comodità di scrittura...
Quindi fondamentalmente ti interessa risolvere gli integrali seguenti:
$ I_s(n) := \int t^n sin(t) dt $
ove $n = 2, 4 $ (pari) e
$ I_c(n) := \int t^ncos(t) dt $
ove $n = 3, 5 $ (dispari).
Per risolvere questi purtroppo non c'è molto da fare, si procede per integrazioni per parti successive in modo da abbassare il grado della $t$. Integrando due volte per parti però si ottengono delle abbastanza utili relazioni di ricorrenza:
$ I_s(n) = -t^n cos(t) + n\int t^{n - 1} cos(t) dt = -t^n cos(t) + n[t^{n - 1}sin(t) - (n -1)\int t^{n - 2} sin(t) dt] = $
$ = -t^n cos(t) + nt^{n - 1}sin(t) - n(n -1)I_s(n - 2) $
e
$ I_c(n) = t^n sin(t) - n\int t^{n - 1} sin(t) dt = t^n sin(t) - n[-t^{n - 1}cos(t) + (n -1)\int t^{n - 2} cos(t) dt] = $
$ = t^n sin(t) + nt^{n - 1}cos(t) - n(n -1)I_c(n - 2) $
ove $n > 2 $. Queste, applicate ripetutamente, ti consentono di trovare tutti gli integrali che ti occorrono. Controllale perché potrei aver commesso qualche errore...
Grazie. Ho seguito più o meno quella strada, solo che non ho portato tutto alla forma $t^n*cos(t)$ per svolgere separatamente ma ho usato la derivata del prodotto e la derivata della funzione composta. Avevo commesso un piccolo errore ma adesso l'ho corretto.
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