Integrale funzione trigonometrica

[Nexus1]

Ciao a tutti,
mi sono trovato davanti a un integrale che mi ha messo in difficoltà, non avendo a disposizione la soluzione ho cercato la conferma con http://www.integrals.wolfram.com/index.jsp . Ma non sembra la stessa soluzione, qualcuno mi può aiutare?

$\int (1+sin^2 x)^3 sin 2x dx$

siccome $ sin 2x = 2 sin x cos x$

$2 \int (1+sin^2 x)^3 sin x cos x dx$

allora integro per sostituzione imponendo $sin x = t$
segue $dx = dt / cos x$

$\int (1+t^2)^3 t dt$

$\int (t + t^6 + 3t^4 + 3t^2) dt$

alla fine

$ t^2 / 2 + t^6 / 6 + 3/4 t^4 + t^3 + c$

sostituisco t con $sin x$... sbaglio qualcosa io o il risultato del link e sono in una forma diversa?

Grazie anticipatamente a tutti

[piero_1]

"Nexus":

$2 \int (1+sin^2 x)^3 sin x cos x dx$
allora integro per sostituzione imponendo $sin x = t$
segue $dx = dt / cos x$
$\int (1+t^2)^3 t dt$

temo che tu ti sia perso un 2 per strada.


$\int (1+t^2)^3 2t dt=(t^2 + 1)^4/4+c=t^8/4 + t^6 + 3·t^4/2 + t^2 + 1/4+c$

[Nexus1]

Sì è vero hai ragione, è stata una svista nella stesura del post.
Come mai su quel sito (che penso sia attendibile) mi dà un risultato diverso?

[ciampax]

Ma quale risultato ti dà il sito?

[Nexus1]

Inserendo l'input (1+(sinx)^2)^3 sin 2x

L'output dell'integrale è $(-117*Cos[2*x])/64 + (55*Cos[4*x])/128 - (3*Cos[6*x])/64 + (Cos[8*x])/512$

Il link per calcolare l'integrale online (direttamente dal sito) è all'inizio.

[ciampax]

Ah, bè, è solo che ti scrive le cose in maniera differente, usando la formula di duplicazione del coseno! Comunque, credo che il bandolo della matassa sia, a questo punto, usare questa sostituzione: visto che $1+\sin^2 x=1+\frac{1-\cos 2x}{2}$ se poni $t={1-\cos 2x}/{2}$ ottieni $dt=\sin 2x\ dx$ e quindi l'integrale diventa

$\int(1+t)^3\ dt=\frac{(1+t)^4}{4}+c=\frac{(1+{1-\cos 2x}/{2})^4}{4}+c$

che ti permette di scrivere (con un po' di manipolazioni) quello che dice il sito della Wolfram.

[Nexus1]

Già! Grazie mille per la risposta chiara ed esaustiva, mi hai tolto un pensiero dalla testa ho passato tutto oggi a pensare al perchè i risultati non coincidevano
Grazie anche a tutti gli altri che hanno risposto. Ci si becca sul forum!