Integrale funzione spt compatto
dovrei calcolare quest'integrale $int_(-oo)^(-1) phi(t)dt$ dove $phi(t)$ è una funzione avente supporto compatto in $[-1,1]$.allora l'integrale dovrebbe essere pari a $0$ appunto per definizione di funzione a supporto compatto.esatto?
Risposte
Più che altro è [tex]$0$[/tex] per definizione di supporto di una funzione.
Ma è un integrale in misura di Lebesgue?
Ma è un integrale in misura di Lebesgue?
"j18eos":
Più che altro è [tex]$0$[/tex] per definizione di supporto di una funzione.
Ma è un integrale in misura di Lebesgue?
no è un integrale ricavato per il calcolo della derivata nel senso delle distribuzioni di una funzione.in cui la $phi(t)$ è la funzione test in cui si va a scaricare la derivata
Non sono ancora arrivato a studiare le distribuzioni, spero di un aver scritto inesattezze allora! 
e se invece avessi da calcolare l'integrale da $int_(-2)^(-1) phi(t)dt$ dove $phi(t)$ è una funzione a supporto compatto in $[-2,2]$ come posso fare?
Niente. Non hai abbastanza informazioni. Sia $phi(t)={(1, t \in [-2, 2]), (0, t \notin[-2, 2]):}$, sia $psi(t)={(2, t \in [-2, 2]), (0, t \notin[-2,2]):}$ hanno supporto compatto in $[-2, 2]$ ma i loro integrali su $[-2, -1]$ sono chiaramente diversi.
@mazzy89: Credo che il calcolo di quell'integrale faccia parte di un problema (tipo, che sò, determinare come agisce una certa distribuzione sulla generica funzione test)... Quindi perchè non posti il problema intero? 
"gugo82":
@mazzy89: Credo che il calcolo di quell'integrale faccia parte di un problema (tipo, che sò, determinare come agisce una certa distribuzione sulla generica funzione test)... Quindi perchè non posti il problema intero?
certamente gugo c'hai ragione.posto il problema per interno e mostro nello stesso tempo come l'ho risolto.
calcolare la derivata nel senso delle distribuzioni di $f(t)={(te^(-[t]) per |t|<=2),(t^2+1 per |t|>2):}$
poichè la funzione è localmente sommabile in $RR$ posso considerare la derivata nel senso delle distribuzioni che è uguale a
$
il segno meno lo considero alla fine dei calcoli e allora diventa
$int_(-oo)^(+oo) f(t)phi(t)dt=int_(-oo)^(-2)(t^2+1)phi^{\prime}(t)dt+int_(-2)^(2) t*e^(-[t])phi^{\prime}(t)dt+int_(2)^(+oo)(t^2+1)phi^{\prime}(t)dt=$
$int_(-oo)^(-2)(t^2+1)phi^{\prime}(t)dt+int_(-2)^(-1) t*e^(-2)phi^{\prime}(t)dt+int_(-1)^(0) t*e^(-1)phi^{\prime}(t)dt+int_(0)^(1) t*e^(-1)phi^{\prime}(t)dt+int_(1)^(2) t*e^(-2)phi^{\prime}(t)dt+int_(2)^(+oo)(t^2+1)phi^{\prime}(t)dt$
integro per parti
$[(t^2+1)phi(t]_(-oo)^(-2)-2int_(-oo)^(-2)tphi(t)dt]+e^(-2)[tphi(t)]_(-2)^(-1)-int_(-2)^(-1)phi(t)dt]+...$
mi fermo qui perché è qui che incontro il problema
Ma devi fare per forza con la definizione?
Voglio dire, hai sotto mano una funzione [tex]$f(t)$[/tex] che è regolare a tratti ed ha sole discontinuità di prima specie, quindi già sai com'è fatta la derivata distribuzionale di [tex]$f(t)$[/tex]...
Voglio dire, hai sotto mano una funzione [tex]$f(t)$[/tex] che è regolare a tratti ed ha sole discontinuità di prima specie, quindi già sai com'è fatta la derivata distribuzionale di [tex]$f(t)$[/tex]...
"gugo82":
Ma devi fare per forza con la definizione?
Voglio dire, hai sotto mano una funzione [tex]$f(t)$[/tex] che è regolare a tratti ed ha sole discontinuità di prima specie, quindi già sai com'è fatta la derivata distribuzionale di [tex]$f(t)$[/tex]...
purtroppo in tutti gli esercizi che ha fatto il mio prof fa usare la definizione.quindi magari se usassi la definizione sarebbe più contento lui e più contento io.
Allora cerca di usare un po' di più le proprietà della derivazione.
Ad esempio, visto che [tex]$f(t)$[/tex] si può scrivere come somma di vari "pezzi" (esplicitando la parte intera e usando opportunamente le funzioni gradino) e visto che la derivazione è un operazione lineare anche in senso distribuzionale, allora la derivata di [tex]$f(t)$[/tex] sarà la somma delle derivate dei vari "pezzi".
Le derivate dei "pezzi", poi, le calcoli singolarmente con la definizione.
Credo sia la via più semplice; altrimenti, se ti tieni tutto scritto così, devi andare a distinguere millemila casi a seconda di com'è fatto il supporto di [tex]$\phi(t)$[/tex].
Ad esempio, visto che [tex]$f(t)$[/tex] si può scrivere come somma di vari "pezzi" (esplicitando la parte intera e usando opportunamente le funzioni gradino) e visto che la derivazione è un operazione lineare anche in senso distribuzionale, allora la derivata di [tex]$f(t)$[/tex] sarà la somma delle derivate dei vari "pezzi".
Le derivate dei "pezzi", poi, le calcoli singolarmente con la definizione.
Credo sia la via più semplice; altrimenti, se ti tieni tutto scritto così, devi andare a distinguere millemila casi a seconda di com'è fatto il supporto di [tex]$\phi(t)$[/tex].
"gugo82":
Allora cerca di usare un po' di più le proprietà della derivazione.
Ad esempio, visto che [tex]$f(t)$[/tex] si può scrivere come somma di vari "pezzi" (esplicitando la parte intera e usando opportunamente le funzioni gradino) e visto che la derivazione è un operazione lineare anche in senso distribuzionale, allora la derivata di [tex]$f(t)$[/tex] sarà la somma delle derivate dei vari "pezzi".
Le derivate dei "pezzi", poi, le calcoli singolarmente con la definizione.
Credo sia la via più semplice; altrimenti, se ti tieni tutto scritto così, devi andare a distinguere millemila casi a seconda di com'è fatto il supporto di [tex]$\phi(t)$[/tex].
scusami gugo ma non è proprio quello che ho fatto io?ho considerato la funzione $f(t)$ e poi l'ho scomposta considerando i singoli pezzi
Sì, ma se tieni tutto insieme devi poi distinguere i casi a seconda che il supporto di [tex]$\phi$[/tex] contenga o meno tutte le discontinuità della funzione [tex]$f$[/tex], se ne contiene solo alcune (distinguendo tutti i possibili sottocasi), se non ne contiene proprio.
Insomma, tenere tutto insieme è un casino; meglio fare un "pezzo" alla volta.
Insomma, tenere tutto insieme è un casino; meglio fare un "pezzo" alla volta.
"gugo82":
Sì, ma se tieni tutto insieme devi poi distinguere i casi a seconda che il supporto di [tex]$\phi$[/tex] contenga o meno tutte le discontinuità della funzione [tex]$f$[/tex], se ne contiene solo alcune (distinguendo tutti i possibili sottocasi), se non ne contiene proprio.
Insomma, tenere tutto insieme è un casino; meglio fare un "pezzo" alla volta.
quindi intendi dire considerare il tutto in questo modo?
$
No, intendo dire che conviene usare la decomposizione:
[tex]$f(t)=f_1(t)+f_2(t)+f_3(t)+f_4(t)+f_5(t)$[/tex],
con:
[tex]$f_1(t)=(t^2+1)\ [1-u(t+2)]$[/tex],
[tex]$f_2(t)=(t^2+1)\ u(t-2)$[/tex],
[tex]$f_3(t)=\tfrac{1}{e}t\ [u(t+2)-u(t+1)]$[/tex],
[tex]$f_4(t)=t\ [u(t+1)-u(t-1)]$[/tex],
[tex]$f_5 (t)=et\ [u(u-1)-u(t-2)]$[/tex],
(qui ho usato [tex]$[t]=-1$[/tex] se [tex]$t\in ]-2,-1]$[/tex], [tex]$=0$[/tex] se [tex]$t\in ]-1,1[$[/tex], [tex]$=1$[/tex] se [tex]$t\in [1,2[$[/tex]; però può darsi che tu abbia sottomano una definizione diversa di [tex]$[t]$[/tex], quindi adatta il ragionamento al tuo caso).
Buon lavoro.
[tex]$f(t)=f_1(t)+f_2(t)+f_3(t)+f_4(t)+f_5(t)$[/tex],
con:
[tex]$f_1(t)=(t^2+1)\ [1-u(t+2)]$[/tex],
[tex]$f_2(t)=(t^2+1)\ u(t-2)$[/tex],
[tex]$f_3(t)=\tfrac{1}{e}t\ [u(t+2)-u(t+1)]$[/tex],
[tex]$f_4(t)=t\ [u(t+1)-u(t-1)]$[/tex],
[tex]$f_5 (t)=et\ [u(u-1)-u(t-2)]$[/tex],
(qui ho usato [tex]$[t]=-1$[/tex] se [tex]$t\in ]-2,-1]$[/tex], [tex]$=0$[/tex] se [tex]$t\in ]-1,1[$[/tex], [tex]$=1$[/tex] se [tex]$t\in [1,2[$[/tex]; però può darsi che tu abbia sottomano una definizione diversa di [tex]$[t]$[/tex], quindi adatta il ragionamento al tuo caso).
Buon lavoro.
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