Integrale funzione razionale fratta
Salve,
sto trovando difficoltà nel calcolare questo integrale di una funzione razionale fratta:
$int (3x+2)/(1-x^6) dx$
Qualcuno gentilmente potrebbe darmi l'input per iniziare a risolverlo. Sicuramente il mio problema sta nel denominatore. Ne ho risolti altri con grado minore utilizzando il metodo di scomposizione. Con questo grado invece sono entrato in confusione.
Vi ringrazio in anticipo.
sto trovando difficoltà nel calcolare questo integrale di una funzione razionale fratta:
$int (3x+2)/(1-x^6) dx$
Qualcuno gentilmente potrebbe darmi l'input per iniziare a risolverlo. Sicuramente il mio problema sta nel denominatore. Ne ho risolti altri con grado minore utilizzando il metodo di scomposizione. Con questo grado invece sono entrato in confusione.
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Osserva che:
$(1-x^6) = (1-x^3)(1+x^3)=(1-x)(x^2+x+1)(1+x)(x^2-x+1)$
Spezzi la frazione e determini i coefficienti. Le frazioni con $x^2+-x+1$ portano o all'arcotangente oppure a integrali immediati in base a cosa avranno come numeratore. Le altre frazioni porteranno a logaritmi.
$(1-x^6) = (1-x^3)(1+x^3)=(1-x)(x^2+x+1)(1+x)(x^2-x+1)$
Spezzi la frazione e determini i coefficienti. Le frazioni con $x^2+-x+1$ portano o all'arcotangente oppure a integrali immediati in base a cosa avranno come numeratore. Le altre frazioni porteranno a logaritmi.
Mi hai dato una grande mano. Ti ringrazio tantissimo.
Adesso e tutto molto più semplice.
Adesso e tutto molto più semplice.
Mi rimangio questa frase 
Ho sicuramente combinato un casino con i calcoli.
Ho scomposto l'integrale in questo modo:
$A/(1-x)+(Bx+C)/(x^2+x+1)+D/(1+x)+(Ex+F)/(x^2-x+1)$
Adesso come devo effettuare le moltiplicazioni? Fino ad ora non mi era mai capitato di avere 4 frazioni in una scomposizione.
"andre85":
Adesso e tutto molto più semplice.
Ho sicuramente combinato un casino con i calcoli.
Ho scomposto l'integrale in questo modo:
$A/(1-x)+(Bx+C)/(x^2+x+1)+D/(1+x)+(Ex+F)/(x^2-x+1)$
Adesso come devo effettuare le moltiplicazioni? Fino ad ora non mi era mai capitato di avere 4 frazioni in una scomposizione.
$A(x^2+x+1)(1+x^3)+(Bx+C)(1-x)(1+x^3)+D(1-x^3)(x^2-x+1)+(Ex+F)(1-x^3)(1+x) -= 3x+2$
OK? ciao.
OK? ciao.
Sistemone di Zio Paperone! 
${(A-B-D-E=0),(A+B-C+D-E-F=0),(A+C-D-F=0),(A-B+D+E=0),(A+B-C+D+E+F=3),(A+C+D+E=2):}$
Matrice completa:
$((1,-1,0,-1,-1,0,0),(1,1,-1,1,-1,-1,0),(1,0,1,-1,0,-1,0),(1,-1,0,1,1,0,0),(1,1,-1,1,1,1,3),(1,0,1,1,1,0,2)) \sim ((1,-1,0,-1,-1,0,0),(0,0,0,0,2,2,3),(1,0,1,-1,0,-1,0),(1,-1,0,1,1,0,0),(1,1,-1,1,1,1,3),(1,0,1,1,1,0,2)) \sim ((1,-1,0,-1,-1,0,0),(0,0,0,0,2,2,3),(0,0,0,2,1,1,2),(1,-1,0,1,1,0,0),(1,1,-1,1,1,1,3),(1,0,1,1,1,0,2)) \sim ((1,-1,0,-1,-1,0,0),(0,0,0,0,2,2,3),(0,0,0,2,1,1,2),(0,2,-1,0,0,1,3),(1,1,-1,1,1,1,3),(1,0,1,1,1,0,2)) \sim$
$\sim ((1,-1,0,-1,-1,0,0),(0,0,0,0,2,2,3),(0,0,0,2,1,1,2),(0,2,-1,0,0,1,3),(0,1,-2,0,0,1,1),(1,0,1,1,1,0,2)) \sim ((1,-1,0,-1,-1,0,0),(0,0,0,0,2,2,3),(0,0,0,2,1,1,2),(0,2,-1,0,0,1,3),(0,1,-2,0,0,1,1),(0,1,1,2,2,0,2)) \sim ((1,-1,0,-1,-1,0,0),(0,0,0,0,2,2,3),(0,0,0,2,1,1,2),(0,2,-1,0,0,1,3),(0,0,-3,-2,-2,1,-1),(0,1,1,2,2,0,2))$
E poi ci si perde in una marea di conti, ma mi pare che ci siamo!
${(A-B-D-E=0),(A+B-C+D-E-F=0),(A+C-D-F=0),(A-B+D+E=0),(A+B-C+D+E+F=3),(A+C+D+E=2):}$
Matrice completa:
$((1,-1,0,-1,-1,0,0),(1,1,-1,1,-1,-1,0),(1,0,1,-1,0,-1,0),(1,-1,0,1,1,0,0),(1,1,-1,1,1,1,3),(1,0,1,1,1,0,2)) \sim ((1,-1,0,-1,-1,0,0),(0,0,0,0,2,2,3),(1,0,1,-1,0,-1,0),(1,-1,0,1,1,0,0),(1,1,-1,1,1,1,3),(1,0,1,1,1,0,2)) \sim ((1,-1,0,-1,-1,0,0),(0,0,0,0,2,2,3),(0,0,0,2,1,1,2),(1,-1,0,1,1,0,0),(1,1,-1,1,1,1,3),(1,0,1,1,1,0,2)) \sim ((1,-1,0,-1,-1,0,0),(0,0,0,0,2,2,3),(0,0,0,2,1,1,2),(0,2,-1,0,0,1,3),(1,1,-1,1,1,1,3),(1,0,1,1,1,0,2)) \sim$
$\sim ((1,-1,0,-1,-1,0,0),(0,0,0,0,2,2,3),(0,0,0,2,1,1,2),(0,2,-1,0,0,1,3),(0,1,-2,0,0,1,1),(1,0,1,1,1,0,2)) \sim ((1,-1,0,-1,-1,0,0),(0,0,0,0,2,2,3),(0,0,0,2,1,1,2),(0,2,-1,0,0,1,3),(0,1,-2,0,0,1,1),(0,1,1,2,2,0,2)) \sim ((1,-1,0,-1,-1,0,0),(0,0,0,0,2,2,3),(0,0,0,2,1,1,2),(0,2,-1,0,0,1,3),(0,0,-3,-2,-2,1,-1),(0,1,1,2,2,0,2))$
E poi ci si perde in una marea di conti, ma mi pare che ci siamo!
Io effettuando le sostituzioni ho trovato questo:
${(A=0),(B=5/2),(C=1),(D=-1),(E=-3/2),(F=2):}$
Ma non so se ho fatto giusto..
Guardando il sistemone sono rimasto shoccato
${(A=0),(B=5/2),(C=1),(D=-1),(E=-3/2),(F=2):}$
Ma non so se ho fatto giusto..
Guardando il sistemone sono rimasto shoccato
senti, visto che l'hai fatto, prova a sostituire i valori trovati nel sistemone (lascia perdere le matrici!) e vedi se sono coerenti.
poi fatti risentire...
poi fatti risentire...
Ottengo:
$int ((5/2)x+1)/(x^2+x+1) dx - int 1/(1+x) dx + int (2-(3/2)x)/(x^2-x+1) dx$
Quello centrale è immediato calcolarlo e risulta $-log(1+x)$ ... Il problema mi sorge per gli altri due
$int ((5/2)x+1)/(x^2+x+1) dx - int 1/(1+x) dx + int (2-(3/2)x)/(x^2-x+1) dx$
Quello centrale è immediato calcolarlo e risulta $-log(1+x)$ ... Il problema mi sorge per gli altri due
Gli altri due sono pure immediati... Basta che scomponi l'integrando in due parti e poi c'è la risoluzione tabulata, poiche otterrai due cose del genere per ogni integrale:
1 $ A*int(x/(ax^2+bx+c)) dx $ che sono risolvibili con l'uso di un formulario..
2 $ B*int(1/(ax^2+bx+c)) dx $
1 $ A*int(x/(ax^2+bx+c)) dx $ che sono risolvibili con l'uso di un formulario..
2 $ B*int(1/(ax^2+bx+c)) dx $
devi fare dei passaggi algebrici in modo da ottenere, a meno del prodotto per una costante, da derivata del denominatore più una costante.
in pratica, nel primo passaggio devi ottenere 2 come coefficiente di x al numeratore.
vediamo il primo integrale. devi moltiplicare per 4/5 dentro il simbolo di integrale e quindi per 5/4 fuori. in tal modo avrai (2x+4/5), che però devi scrivere come
[(2x+1)+(-1+4/5)] e separare in due integrali, il primo abbastanza immediato che ti porta ad un logaritmo, il secondo che ti porterà ad un'arcotangente (non dimenticare il fattore 5/4 fuori del simbolo di integrale).
prova e facci sapere. ciao.
in pratica, nel primo passaggio devi ottenere 2 come coefficiente di x al numeratore.
vediamo il primo integrale. devi moltiplicare per 4/5 dentro il simbolo di integrale e quindi per 5/4 fuori. in tal modo avrai (2x+4/5), che però devi scrivere come
[(2x+1)+(-1+4/5)] e separare in due integrali, il primo abbastanza immediato che ti porta ad un logaritmo, il secondo che ti porterà ad un'arcotangente (non dimenticare il fattore 5/4 fuori del simbolo di integrale).
prova e facci sapere. ciao.
Vediamo se ho capito bene...
Scomponendo l'integrale (il primo) viene:
$5/4int (2x+4/5+1-1)/(x^2+x+1) dx = 5/4int (2x+1)/(x^2+x+1) dx -1/4int 1/(x^2+x+1) dx$
il primo risulta $5/4 ln(x^2+x+1)$... Nel secondo se non ho sbagliato il passaggio dovrei fare qualche procedimento...
Scomponendo l'integrale (il primo) viene:
$5/4int (2x+4/5+1-1)/(x^2+x+1) dx = 5/4int (2x+1)/(x^2+x+1) dx -1/4int 1/(x^2+x+1) dx$
il primo risulta $5/4 ln(x^2+x+1)$... Nel secondo se non ho sbagliato il passaggio dovrei fare qualche procedimento...
una curiosità...ma quel sistemone da dove esce?
Risolta l'altra parte che viene:
$-1/(2sqrt(3))arctan((2x+1)/sqrt(3))$
Se ho fatto giusto mi rimane l'ultima parte cioè:
$int ((3/2)x+2)/(x^2-x+1) dx$ che immagino si svolgerà in modo analogo a quello di prima. Qualcuno può darmi una conferma?.. così sono più sicuro.
$-1/(2sqrt(3))arctan((2x+1)/sqrt(3))$
Se ho fatto giusto mi rimane l'ultima parte cioè:
$int ((3/2)x+2)/(x^2-x+1) dx$ che immagino si svolgerà in modo analogo a quello di prima. Qualcuno può darmi una conferma?.. così sono più sicuro.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo