Integrale funzione razionale, denominatore negativo

[21zuclo]

Ciao a tutti..vorrei capire se ho svolto bene quest'integrale. Controllate grazie in anticipo. E se l'avreste fatto in modo diverso o conoscete un modo più veloce scrivetelo.

Calcolare la primitiva di $f(x)=(x-1)/(x^2+2x+5)$

ho provato a svolgere così

$\int (x-1)/(x^2+2x+5)dx$

allora $x^2+2x+5$ ha $\Delta <0$

quindi devo far apparire a numeratore la derivata del denominatore $D(x^2+2x+5)=2x+2$

per cui faccio $1/2(2x)-1=1/2(2x+2-2)-1=1/2(2x+2)-1-1=1/2(2x+2)-2$

$1/2\int (2x+2)/(x^2+2x+5)dx -2\int (dx)/(x^2+2x+5)$

ora il primo pezzo è $1/2\int(2x+2)/(x^2+2x+5)dx=1/2\ln|x^2+2x+5|$

per il secondo pezzo $-2\int (dx)/(x^2+2x+5)$

$x^2+2x+5=(x^2+2x+1-1)+5=(x+1)^2+4$

$-2\int(dx)/((x+1)^2+4)=-2/4\int(dx)/(((x+1)/2)^2+1)=-2/4\cdot 2\arctan((x+1)/(2))=-\arctan((x+1)/(2))$

Mettendo insieme il tutto si ottiene $\int f(x)dx=1/2\ln|x^2+2x+5|-\arctan((x+1)/(2))+C$

[Noisemaker]

anche se il valore assoluto nel $\log$ non è necessario

[lordb]

Ciao un piccolo appunto:

"21zuclo":
Calcolare la primitiva di $f(x)=(x-1)/(x^2+2x+5)$

Non è corretto, quello che tu vuoi fare è trovare l'insieme delle primitive, oppure (assegnando un valore alla costante additiva) trovare una particolare primitiva.

[21zuclo]

"lordb":Ciao un piccolo appunto:

[quote="21zuclo"]
Calcolare la primitiva di $f(x)=(x-1)/(x^2+2x+5)$

Non è corretto, quello che tu vuoi fare è trovare l'insieme delle primitive, oppure (assegnando un valore alla costante additiva) trovare una particolare primitiva.[/quote]

ah ok! Sì pensandoci è anche vero.. pardon!