Integrale funzione Dispari mediante residui
Salve, sono un nuovo iscritto, studente di ingegneria ed appassionato di matematica, spero di poter contribuire nel mio piccolo alle necessità degli altri utenti 
Oggi mi sono imbattuto in questo integrale da risolvere mediante i residui (o eventualmente altre tecniche come le trasformate di laplace e di fourier, ma non credo sia necessario)
\( \int_ 0^{+\infty}\frac {\text {Sin}(x)} {x^2 + 1}\, dx \)
Essendo la funzione integranda dispari ovviamente non posso passare all'integrale tra -infinito e +infinito, risolvere mediante l'uso dei residui, e dividere infine per 2.
Ho provato quindi a sostituire a Sin(x) la grandezza Sin(abs(x)), così da ottenere una funzione pari che per x>0 sia uguale alla funzione di partenza, ma non sono sicuro a questo punto di poter passare al campo complesso e applicare poi il lemma di jordan. Tra l'altro provando a fare così e confrontando poi il risultato che ottengo con quanto invece ottengo con Wolfram Mathematica i risultati sono diversi.
Vi ringrazio in anticipo per i vostri suggerimenti
Oggi mi sono imbattuto in questo integrale da risolvere mediante i residui (o eventualmente altre tecniche come le trasformate di laplace e di fourier, ma non credo sia necessario)
\( \int_ 0^{+\infty}\frac {\text {Sin}(x)} {x^2 + 1}\, dx \)
Essendo la funzione integranda dispari ovviamente non posso passare all'integrale tra -infinito e +infinito, risolvere mediante l'uso dei residui, e dividere infine per 2.
Ho provato quindi a sostituire a Sin(x) la grandezza Sin(abs(x)), così da ottenere una funzione pari che per x>0 sia uguale alla funzione di partenza, ma non sono sicuro a questo punto di poter passare al campo complesso e applicare poi il lemma di jordan. Tra l'altro provando a fare così e confrontando poi il risultato che ottengo con quanto invece ottengo con Wolfram Mathematica i risultati sono diversi.
Vi ringrazio in anticipo per i vostri suggerimenti
Risposte
In che sezione del libro l'hai trovato? Dove sta il lemma di Jordan?
è un libro di Fisica matematica (autore fabio bagarello), il capitolo è sulle funzioni analitiche.
Se è valido il lemma di jordan in pratica posso deformare il cammino di integrazione, integrare su una semicirconferenza di raggio tendente a +infinito e ottenere un risultato esatto per l'integrale; ma mi rispondo da solo, no, purtroppo non posso applicarlo perchè la funzione con il modulo di z smette di essere analitica.
avete qualche idea?
Se è valido il lemma di jordan in pratica posso deformare il cammino di integrazione, integrare su una semicirconferenza di raggio tendente a +infinito e ottenere un risultato esatto per l'integrale; ma mi rispondo da solo, no, purtroppo non posso applicarlo perchè la funzione con il modulo di z smette di essere analitica.
avete qualche idea?
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