Integrale funzione con sin(t)

[hiruma92]

Salve, ho problemi con il calcolo del seguente integrale:

$\int_{0}^{2\pi} 1/(((1/2)sin(t)-1)^2) dt$

se applico la sostituzione dove $x = tg (t)$ e quindi $t = arctg(x)$ ottengo che $dt=(1/(1+x^2))dx$, ricordo inoltre che $sin(arctg(x))=x/sqrt(x^2+1)$, quindi sostituendo il tutto nell'integrale precedente viene:

$\int_{0}^{0} 1/((x/(2sqrt(x^2+1))-1)^2) dt$, ed essendo funzioni continue , avendo i due limiti di integrazione uguali, allora viene $=0$.

Se invece provo a calcolarlo cpn calcolatori online (ad es. Wholfram Alpha) mi viene come risultato $(16 pi)/(3sqrt(3))$.

Qualcuno mi sa spiegare il perchè o dove sta il mio errore?
Grazie mille in anticipo

hiruma92

[gugo82]

La sostituzione è lecita solo se $t\in ]-pi/2, \pi/2[$...

[hiruma92]

Si ma se io sostituisco l'intervallo di integrazione $[0,2π]$ a $t=arctg(x)$ l'intervallo di t viene compreso in $t ∈ [-π/2, π/2]$.
Che sostituzione applicheresti per risolvere l'integrale?

Grazie mille

[gugo82]

"hiruma92":Si ma se io sostituisco l'intervallo di integrazione $[0,2π]$ a $t=arctg(x)$ l'intervallo di t viene compreso in $t ∈ [-π/2, π/2]$.

Non puoi usare la sostituzione in $[0,2\pi]$.
Conosci l'enunciato del cambiamento di variabile nell'integrale definito?

"hiruma92":Che sostituzione applicheresti per risolvere l'integrale?

Innanzitutto, nota che:
\[
\int_0^{2\pi} f(t)\ \text{d} t = \int_0^{\pi/2} f(t)\ \text{d} t + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} f(t)\ \text{d} t + \int_{3\pi/2}^{2\pi} f(t)\ \text{d} t
\]
per proprietà additiva; per periodicità, inotre:
\[
\begin{split}
\int_{\pi/2}^{3\pi/2} f(t)\ \text{d} t &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(t)\ \text{d} t\\
\int_{3\pi/2}^{2\pi} f(t)\ \text{d} t &= \int_{-\pi/2}^0 f(t)\ \text{d} t
\end{split}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
\int_0^{2\pi} f(t)\ \text{d} t &= \int_0^{\pi/2} f(t)\ \text{d} t + \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(t)\ \text{d} t + \int_{-\pi/2}^0 f(t)\ \text{d} t\\
&= 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(t)\ \text{d} t
\end{split}
\]
e l'ultimo integrale si calcola con la sostituzione che hai proposto e che è lecita perché l'intervallo di integrazione è contenuto in \(]-\pi/2,\pi/2[\).

[hiruma92]

Ho capito il discorso della periodicità, però i nuovi estremi di integrazione, se i primi sono diventati $-π/2$ e $π/2$, non riesco a definirli, in quanto, con la sostituzione $x=tg(t)$, se t tende a $-π/2$ o $π/2$, la x non è definita.

[gugo82]

Prenditi un buon libro di Analisi I, innanzitutto.

Seconda cosa, la sostituzione che lavora meglio è $x=\tan (t/2)$, che fornisce:
\[
\begin{split}
\sin t &= \frac{2x}{x^2+1}\\
\text{d} t &= \frac{2}{x^2+1}\ \text{d} x
\end{split}
\]
e l'integrale diventa:
\[
\begin{split}
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(t)\ \text{d} t &= \int_{-1}^1 \frac{1}{\left( \frac{x}{x^2+1} - 1\right)^2}\ \frac{2}{x^2+1}\ \text{d} x\\
&= 2\ \int_{-1}^1 \frac{x^2 +1}{( x^2 - x + 1)^2}\ \text{d} x
\end{split}
\]
che si integra "a mano" usando la scomposizione in fratti o la formula di Hermite.

[pilloeffe]

Ciao hiruma92,

Credo che si risolva meglio cambiando per comodità in $x$ la variabile di integrazione:

$\int_{0}^{2\pi} frac{1}{(frac{1}{2} sin x-1)^2} dx $

e risolvendo preventivamente l'integrale indefinito

$\int frac{1}{(frac{1}{2} sin x-1)^2} dx$

Ponendo $t := tan(frac{x}{2})$ ($t$ ricorda la parola "tangente") e facendo uso delle formule parametriche (che so che piacciono tanto a gugo82... ), l'integrale indefinito si trasforma in quello di una funzione razionale. Infatti si ha $dx = frac{2 dt}{t^2 + 1}$ e $sin x = frac{2t}{t^2 + 1}$, per cui l'integrale indefinito diventa il seguente:

(seguono una serie di calcoli non difficili, ma un po' estenuanti, e che pertanto potrei anche aver sbagliato...)

$\int frac{1}{(frac{t}{t^2 + 1} -1)^2} frac{2 dt}{t^2 + 1} = \int frac{1}{(frac{t - t^2 - 1}{t^2 + 1})^2} frac{2 dt}{t^2 + 1} = \int frac{(t^2 + 1)^2}{(t - t^2 - 1)^2} frac{2 dt}{t^2 + 1} = $
$=2 \int frac{t^2 + 1}{(t^2 - t + 1)^2} dt =$
$= 2 \int frac{t^2 - t + 1 + t}{(t^2 - t + 1)^2} dt = 2 \int frac{1}{t^2 - t + 1} dt + 2 \int frac{t}{(t^2 - t + 1)^2} dt =$
$= 2 \int frac{1}{(t - frac{1}{2})^2 + (frac{sqrt 3}{2})^2} dt + 2 \int [frac{2t - 1}{2(t^2 - t + 1)^2} + frac{1}{2(t^2 - t + 1)^2}] dt =$
$= 2 \int frac{1}{(t - frac{1}{2})^2 + (frac{sqrt 3}{2})^2} dt + \int [frac{2t - 1}{(t^2 - t + 1)^2} + frac{1}{(t^2 - t + 1)^2}] dt =$
$= 2 \int frac{1}{(t - frac{1}{2})^2 + (frac{sqrt 3}{2})^2} dt + \int frac{2t - 1}{(t^2 - t + 1)^2} dt + \int frac{1}{[(t - frac{1}{2})^2 + (frac{sqrt 3}{2})^2]^2} dt=$
$= frac{4}{sqrt{3}} arctan(frac{2t - 1}{sqrt{3}}) - frac{1}{t^2 - t + 1} + frac{2t - 1}{3(t^2 - t + 1)} + frac{4 sqrt{3}}{9} arctan(frac{2t - 1}{sqrt{3}}) + c =$
$= frac{16 sqrt{3}}{9} arctan(frac{2t - 1}{sqrt{3}}) + frac{2t - 4}{3(t^2 - t + 1)} + c =$
$= frac{1}{3}[frac{16 sqrt{3}}{3} arctan(frac{2t - 1}{sqrt{3}}) + frac{frac{2t}{t^2 +1} - frac{4}{t^2 +1}}{1- frac{1}{2}frac{2t}{t^2 +1}}] + c=$
$= frac{1}{3}[frac{16}{sqrt{3}} arctan(frac{2t - 1}{sqrt{3}}) + frac{frac{2t}{t^2 +1} - frac{4}{t^2 +1}}{1 - frac{1}{2}frac{2t}{t^2 +1}}] + c=$
$= frac{1}{3}[frac{16}{sqrt{3}} arctan(frac{2t - 1}{sqrt{3}}) + frac{frac{2t}{t^2 +1} - frac{2}{t} \cdot frac{2t}{t^2 +1}}{1 - frac{1}{2}frac{2t}{t^2 +1}}] + c=$
$= frac{1}{3}[frac{16}{sqrt{3}} arctan(frac{2t - 1}{sqrt{3}}) + frac{(1 - frac{2}{t})sin x}{1 - frac{1}{2}sin x}] + c=$
$= frac{1}{3}[frac{16}{sqrt{3}} arctan(frac{2t - 1}{sqrt{3}}) + frac{2(frac{t - 2}{t})sin x}{2 - sin x}] + c=$
$= frac{1}{3}[frac{16}{sqrt{3}} arctan(frac{2t - 1}{sqrt{3}}) + frac{(2t - 4)sin x}{t(2 - sin x)}] + c=$
$= frac{2}{3}[frac{8}{sqrt{3}} arctan(frac{2t - 1}{sqrt{3}}) + frac{(2 - t)sin x}{t(sin x - 2)}] + c$

Osservando che per note formule si ha $frac{2 - t}{t} = frac{2(1 + cos x) - sin x}{sin x}$, si può scrivere:

$\int frac{1}{(frac{1}{2} sin x-1)^2} dx = frac{2}{3}[frac{8}{sqrt{3}} arctan(frac{2t - 1}{sqrt{3}}) + frac{2(1 + cos x) - sin x}{sin x - 2}] + c =$
$= frac{2}{3}[frac{8}{sqrt{3}} arctan(frac{2t - 1}{sqrt{3}}) - frac{sin x - 2 - 2 cos x}{sin x - 2}] + c$

Ora, ricordandoti che $t = tan(frac{x}{2})$ e che $arctan(-u) = - arctan (u)$, in definitiva si ha:

$\int frac{1}{(frac{1}{2} sin x-1)^2} dx = frac{2}{3}[- frac{8}{sqrt{3}} arctan(frac{1 - 2tan(frac{x}{2})}{sqrt{3}}) - frac{sin x - 2 - 2 cos x}{sin x - 2}] + c =$
$= - frac{16 sqrt{3}}{9} arctan(frac{1 - 2tan(frac{x}{2})}{sqrt{3}}) - frac{2(sin x - 2 - 2 cos x)}{3(sin x - 2)} + c =$
$= frac{12 cos x - 16 sqrt{3}(sin x - 2)arctan(frac{1 - 2tan(frac{x}{2})}{sqrt{3}}) - 6(sin x - 2)}{9(sin x - 2)} + c \implies$

$\implies \int frac{1}{(frac{1}{2} sin x-1)^2} dx = frac{4[3 cos x - 4 sqrt{3}(sin x - 2)arctan(frac{1 - 2tan(frac{x}{2})}{sqrt{3}})]}{9(sin x - 2)} + c$

Lascio a te l'onore e l'onere del calcolo dell'integrale definito, come ti ha suggerito gugo82... Il cui risultato in effetti è $frac{16 \pi}{3 sqrt 3}$. Non escludo che l'integrale definito che hai proposto possa essere calcolato più rapidamente con tecniche di analisi complessa, ma qui lascio il campo agli utenti del forum più freschi di studi...