Integrale fratto con seno e coseno

[robertofiglia]

Stavo svolgendo un integrale e non capisco come diventi p/4

[pilloeffe]

Ciao roby2394,

Per comodità passiamo all'integrale indefinito:

$\int (sin\theta cos\theta)/(cos^4\theta + sin^4\theta) \text{d}\theta $

Dividendo per $cos^4\theta $ si ha:

$\int (sin\theta cos\theta)/(cos^4\theta + sin^4\theta) \text{d}\theta = \int (tan\theta sec^2\theta)/(1 + tan^4\theta) \text{d}\theta $

Ponendo $y := tan\theta $ si perviene all'integrale $\int y/(1 + y^4) \text{d}y $ e da qui, ponendo ancora $x := y^2 $, si ha:

$\int y/(1 + y^4) \text{d}y = 1/2 \int 1/(1 + x^2) \text{d}x = 1/2 arctan x + c = 1/2 arctan y^2 + c $

Ma $y = tan\theta \implies y^2 = tan^2\theta $, per cui in definitiva si ha:

$\int (sin\theta cos\theta)/(cos^4\theta + sin^4\theta) \text{d}\theta = \int (tan\theta sec^2\theta)/(1 + tan^4\theta) \text{d}\theta = 1/2 arctan(tan^2\theta) + c $

A questo punto dovresti capire perché si ha:

$\int_0^{\pi/2} (sin\theta cos\theta)/(cos^4\theta + sin^4\theta) \text{d}\theta = \pi/4 $

[Mephlip]

Alcuni suggerimenti per risolvere l'integrale in maniera alternativa a quella data da pilloeffe: prova a completare il quadrato al denominatore notando che $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta=(\cos^2 \theta)^2 + (\sin^2 \theta)^2$, scrivi il numeratore utilizzando le formule di duplicazione del seno e cerca di ricondurre ciò che viene al denominatore dopo il completamento del quadrato a qualcosa in cui puoi usare anche lì la formula di duplicazione del seno.
Infine al denominatore usa la relazione fondamentale della goniometria nella forma $\cos^2 (2\theta) + \sin^2 (2\theta)=1$ e fai un'opportuna sostituzione.

[gugo82]

"roby2394":Stavo svolgendo un integrale e non capisco come diventi p/4

L'integrale proposto:
\[
\int_0^{\pi/2} \frac{\sin \theta\ \cos \theta}{\cos^4 \theta + \sin^4\theta}\ \text{d}\theta
\]
si può calcolare anche per sostituzione e fratti semplici, ponendo $x = sin theta$ e tenendo presente che $cos^4 theta =(1-sin^2 theta)^2$.