Integrale fratto con radice al denominatore

[DeAndreon]

Ciao a tutti! Purtroppo questi integrali sono un mio incubo. Quando li vedo non so come iniziare.
Ecco un esempio:


$ int_()^() 1/(sqrt(4+9x^2) ) $

Come iniziare? Qual'è in genere il metodo consigliato da utilizzare con questo tipo di integrale?
Io ho provato a sostituire ciò che c'è sotto la radice ma non riesco a contiunare. Come devo fare?
Grazie mille

[Fahrenheit451]

Non devi sostituire quello sotto radice, bensì devi ricordarti gli integrali delle funzioni irrazionali.
-Per prima cosa devi chiederti se il coefficiente di $x^2$ è maggiore o minore di 0. In questo caso $a>0$ perciò poni $sqrt(ax^2+bx+c)=t-sqrta*x$
-Poi ti trovi la $x$, applichi la differenziazione e poi sostituisci tutto nell'integrale dato.
Spero di essermi spiegato, in caso contrario ti faccio vedere tutti i passaggi!

[antani2]

vabeh ma questo qua invewce è immediato, $int dx/sqrt(4+9x^2)= 2/6 int 3/2 dx/sqrt(1+9/4x^2) = 1/3 arcsin(3x/2) + c

[Camillo]

Non è corretto , la derivata di $ arc sin x $ è $ 1/sqrt(1-x^2)$.

[antani2]

e difatti ho detto una stronzata. Scusate

[Camillo]

Credo sia conveniente usare le funzioni iperboliche.

[antani2]

però aspetta, per farmi perdonare...Col più cambia solo che invece di arcoseno normale è arcoseno iperbolico giusto?

[Camillo]

Si dovrebbe arrivare a $ 1/2 arcSh (2x/3)+c.

[antani2]

perchè?
$x->2/3sinht->\ \int (2/3coshtdt)/sqrt(4+4sinh^2t)= 1/3 int (coshtdt)/cosht = 1/3t+c$ ma $t=arcsinh(3/2x)$ quindi $intdx/sqrt(4+9x^2)= 1/3arcsinh(3/2x) +c$

[lobacevskij]

Dico la mia:

$ int_()^() dx/sqrt(4+9x^2) = int_()^() 1/3 * dx/sqrt((2/3)^2 + x^2) = 1/3 * arcsinh(3/2x) + c $

Quindi arrivo al medesimo risultato di antani, seppur per una via diversa.

[antani2]

sì certo, perchè tu tratti la radie come un integrale elementare di arcsin...è la stessa cosa che ho detto io quando ho detto "ah scusa ma quindi comunque cambia solo che c'è arcoseno invece di seno nomale"