Integrale fratto con radice al denominatore

[TheBepps]

Buongiorno, ho un problema con questo integrale

$ int dx/(sqrt(x^2-x+1)-x) $

Io ho provato a risolverlo per sostituzione ponendo

$ sqrt(x^2-x+1)-x =t $

Ricavandomi la x ed il Dt mi ritrovo poi con

$ int -(2t)/(t(1+2t)^2) $

Che come risultato finale mi da una cosa del genere, sfruttando la proprietà dell'integrazione per le potenze

$ log(2t+1) $


Ho controllato il risultato su Wolfram, e non si trova. Wolfram mi da un risultato mostruosamente lungo. Ho sbagliato qualcosa?

[pilloeffe]

Ciao TheBepps,

Benvenuto sul forum!

"TheBepps":Ho controllato il risultato su Wolfram, e non si trova. Wolfram mi da un risultato mostruosamente lungo.

Per quanto mi secchi ammetterlo, mi sa che ha ragione WolframAlpha...

"TheBepps":Ho sbagliato qualcosa?

Sì, senza dubbio.

[TheBepps]

Ciao pilloeffe, ti ringrazio per il benvenuto

Ok, ho capito che bisogna affrontare questo integrale con una razionalizzazione in primis.
Poi ho spaccato l'integrale principale e ne ho ottenuti due, il primo risolvibile facilmente, il secondo invece è questa bestia qui

$ int sqrt(x^2-x+1)/(x-1) $

Che davvero non mi riesce in nessun modo. Il contenuto del radicale non è scomponibile, non posso sostituire e per parti si trasforma in una bestia ancora più rognosa!

Chi mi può dare cortesemente una piccola delucidazione su come affrontarlo?

[Mephlip]

Prova a completare il quadrato nella radice e fare una sostituzione standard quando si hanno quel tipo di radici, ossia sostituire $\tan$ oppure $\sinh$ (viene un abominio da fare in fratti semplici).

[TheBepps]

ho provato a sostituire con
$ x=atan(t) $

ma non mi si trova comunque
la prof non ha mai fatto una cosa simile in classe... Mi sa che lo abbandonerò e pregare che non esca all'esame, fino ad ora mi ha fatto perdere fin troppo tempo questo maledetto integrale!

[pilloeffe]

"TheBepps":Ciao pilloeffe, ti ringrazio per il benvenuto

Prego!

"TheBepps":Ok, ho capito che bisogna affrontare questo integrale con una razionalizzazione in primis.

Non so se è una buona idea...
Trattandosi dell'integrale di una funzione irrazionale ed essendo $\Delta < 0 $ il discriminante del radicando, tenterei con una sostituzione di Eulero:

$ \sqrt{a} x + t :=\sqrt{ax^2 + bx + c} $

Quindi nel caso in esame $ x + t = \sqrt{x^2 - x + 1} \implies t = \sqrt{x^2 - x + 1} - x $
Elevando al quadrato si ha:

$x^2 + 2tx + t^2 = x^2 - x + 1 \implies 2tx + x = 1 - t^2 \implies x = \frac{1 - t^2}{2t + 1} \implies \text{d}x = - \frac{2(t^2 + t + 1)}{(2t + 1)^2} \text{d}t $

Perciò andando a sostituire si ha:

$ \int 1/(sqrt(x^2-x+1)-x) \text{d}x = \int 1/t \cdot [- \frac{2(t^2 + t + 1)}{(2t + 1)^2}] \text{d}t = - 2 \int \frac{t^2 + t + 1}{t(2t + 1)^2} \text{d}t = $
$ = - 1/2 \int \frac{4t^2 + 4t + 4}{t(2t + 1)^2} \text{d}t = - 1/2 \int \frac{4t^2 + 4t + 1 + 3}{t(2t + 1)^2} \text{d}t = - 1/2 \int \frac{(2t + 1)^2 + 3}{t(2t + 1)^2} \text{d}t = $
$ = - 1/2 \int 1/t \text{d}t - 3/2 \int \frac{1}{t(2t + 1)^2} \text{d}t = -1/2 ln|t| - 3/2 \int \frac{1}{t(2t + 1)^2} \text{d}t = $
$ = -1/2 ln|t| - 3/2 \int [- \frac{2}{2t + 1} - \frac{2}{(2t + 1)^2} + 1/t] \text{d}t = $
$ = -1/2 ln|t| + 3 \int \frac{\text{d}t}{2t + 1} + 3 \int \frac{\text{d}t}{(2t + 1)^2} - 3/2 \int (\text{d}t)/t = $
$ = - 2 ln|t| + 3 \int \frac{\text{d}t}{2t + 1} + 3 \int \frac{\text{d}t}{(2t + 1)^2} = $
$ = - 2 ln|t| + 3/2 ln|2t + 1| - 3/2 \frac{1}{2t + 1} + c =$
$ = ln (1/t^2) + 3/2 ln|2t + 1| - 3/2 \frac{1}{2t + 1} + c $

A questo punto, ricordando che $t = \sqrt{x^2 - x + 1} - x $, si ha:

$ \int 1/(sqrt(x^2-x+1)-x) \text{d}x = $
$ = ln(1/(\sqrt{x^2 - x + 1} - x))^2 + 3/2 ln|2(\sqrt{x^2 - x + 1} - x) + 1| - 3/2 \frac{1}{2( \sqrt{x^2 - x + 1} - x) + 1} + c = $
$ = ln((\sqrt{x^2 - x + 1} + x)/(x - 1))^2 + 3/2 ln|2\sqrt{x^2 - x + 1} - (2x - 1)| - 3/2 \frac{1}{2 \sqrt{x^2 - x + 1} - (2x - 1)} + c$
$ = ln((\sqrt{x^2 - x + 1} + x)/(x - 1))^2 + 3/2 ln|\frac{4(x^2 - x + 1) - (2x - 1)^2}{2\sqrt{x^2 - x + 1} + (2x - 1)}| - 3/2 \frac{2\sqrt{x^2 - x + 1} + (2x - 1)}{4(x^2 - x + 1) - (2x - 1)^2} + c$
$ = ln((\sqrt{x^2 - x + 1} + x)/(x - 1))^2 + 3/2 ln|\frac{4x^2 - 4x + 4 - 4x^2 + 4x - 1}{2\sqrt{x^2 - x + 1} + 2x - 1}| - 3/2 \frac{2\sqrt{x^2 - x + 1} + 2x - 1}{4x^2 - 4x + 4 - 4x^2 + 4x - 1} + c = $
$ = ln((\sqrt{x^2 - x + 1} + x)/(x - 1))^2 + 3/2 ln|\frac{3}{2\sqrt{x^2 - x + 1} + 2x - 1}| - \sqrt{x^2 - x + 1} - x + c_1 = $
$ = ln((\sqrt{x^2 - x + 1} + x)/(x - 1))^2 - 3/2 ln(2\sqrt{x^2 - x + 1} + 2x - 1) - \sqrt{x^2 - x + 1} - x + c_2 = $
$ = 2ln(\sqrt{x^2 - x + 1} + x) - 2 ln|x - 1| - 3/2 ln(2\sqrt{x^2 - x + 1} + 2x - 1) - \sqrt{x^2 - x + 1} - x + c_2 $
$ = 2ln(\sqrt{x^2 - x + 1} + x) - 2 ln|x - 1| - 3/2 ln(\sqrt{(2x - 1)^2 + 3} + 2x - 1) - \sqrt{x^2 - x + 1} - x + c_2 = $
$ = 2ln(\sqrt{x^2 - x + 1} + x) - 2 ln|x - 1| - 3/2 ln[\sqrt{3}(\sqrt{((2x - 1)/\sqrt{3})^2 + 1} + (2x - 1)/\sqrt{3})] - \sqrt{x^2 - x + 1} - x + c_2 = $
$ = 2ln(\sqrt{x^2 - x + 1} + x) - 2 ln|x - 1| - 3/2 ln[\sqrt{((2x - 1)/\sqrt{3})^2 + 1} + (2x - 1)/\sqrt{3}] - \sqrt{x^2 - x + 1} - x + c_3 = $
$ = 2ln(\sqrt{x^2 - x + 1} + x) - 2 ln|x - 1| - 3/2 \text{arcsinh}((2x - 1)/\sqrt{3}) - \sqrt{x^2 - x + 1} - x + c_3 $

con ovvie definizioni delle costanti. Controlla perché l'integrale era un po' "contoso" e potrei anche essermi sbagliato...