Integrale fratto con radice a denominatore

[intrulli]

Ciao a tutti, qualche suggerimento per la risoluzione del seguente integrale
$ int x^2/sqrt(1-x^3) dx $

Dopo diversi tentativi, non sono riuscito a trovare una retta via per la risoluzione, suggerimenti?
Grazie in anticipo.

[Lo_zio_Tom]

è immediato!

qual'è la derivata di $sqrt(1-x^3)$

???

[intrulli]

La derivata è $ (3x^2)/(2sqrt(1-x^3)) $
Ma per averla a numeratore non capisco quali siano i passaggi necessari

[Lo_zio_Tom]

"intrulli":La derivata è $ (3x^2)/(2sqrt(1-x^3)) $
Ma per averla a numeratore non capisco quali siano i passaggi necessari

e dai.....a parte che la derivata è sbagliata perché hai dimenticato un "meno"....ma basta sistemare il coefficiente


$intx^2/sqrt(1-x^3)dx=-2/3int(-3x^2)/(2sqrt(1-x^3))dx=-2/3sqrt(1-x^3)+C$

fine dell'integrale

[intrulli]

Ti ringrazio per la risposta, ma continuo ad avere dubbi.
Perchè ci portiamo ad avere la derivata del denominatore a numeratore, se poi il risultato dell'integrale non è coefficiente + log(denominatore)?
La regola non dice che $ int (f'(x))/(f(x)) dx = ln|f(x) | + c $ ?

[Lo_zio_Tom]

"intrulli":
Perchè ci portiamo ad avere la derivata del denominatore a numeratore

non ho fatto ciò che dici tu!

ho fatto in modo che il numeratore sia la derivata del radicando al denominatore, ovvero la derivata di $(1-x^3)$, in modo da poter applicare questa relazione:

$d/(dx)sqrt(f(x))=(f'(x))/(2sqrt(f(x))$

e quindi

$int(f'(x))/(2sqrt(f(x)))dx=sqrt(f(x))+C$

$f(x)=(1-x^3)$. Quindi basta sistemare il coefficiente in modo oppourtuno affinché l'integrale sia immediato. Dimmi se ora è più chiaro

[intrulli]

Bella sta regola, non la conoscevo, ecco perchè non riuscivo a seguirti! Davvero grazie, lo svolgimento è praticamente nemmeno un rigo

PS: Cursiosità; c'è un altro modo per poterlo svolgere? In tutti gli esercizi che ho svolto non mi è mai capitato di dover applicare questa regola

[Lo_zio_Tom]

"intrulli":
PS: Cursiosità; c'è un altro modo per poterlo svolgere?

puoi sostituire

$1-x^3=t rarr -3x^2dx=dt$ ottenendo

$-1/3int1/sqrt(t)dt=-1/3intt^(-1/2)dt=-1/3t^(-1/2+1)/(-1/2+1)=-2/3t^(1/2)=-2/3sqrt(1-x^3)+C$


ma non mi pare il caso, onestamente

Ora però ho io una curiosità

"intrulli":
Dopo diversi tentativi, non sono riuscito a trovare una retta via per la risoluzione

Quali sono i tentativi che hai fatto? ( dato che, sebbene previsto dal regolamento, non ne hai indicato nemmeno uno.....)

[intrulli]

Ho provato prima per sostituzione, poi per parti.. Grazie comunque per la dritta !