Integrale fratto con demoninatore delta < 0
Ciao a tutti! Come posso risolvere questo tipo di integrale? I miei colleghi universitari dicono che si usa questa formula:
$ (1 // (aB)) * arctan((x-A)//B) + k $
(A e B sono alfa e beta del numero complesso derivante dalla soluzione del denominatore)
però io non mi trovo applicandola. E' questo il metodo giusto per risolvere questo tipo di integrali? Oppure si procede in qualche altro modo?
Grazie a tutti!
$ (1 // (aB)) * arctan((x-A)//B) + k $
(A e B sono alfa e beta del numero complesso derivante dalla soluzione del denominatore)
però io non mi trovo applicandola. E' questo il metodo giusto per risolvere questo tipo di integrali? Oppure si procede in qualche altro modo?
Grazie a tutti!
Risposte
Credo che tu stia parlando di integrali del tipo:
[tex]$
\[\int {\frac{{dx}}{{x^2 + px + q}}} \]
$[/tex]
quando il [tex]\[\Delta < 0\][/tex]. Per questo genere di integrali puoi utilizzare il metodo di completamento dei quadrati che ti consente di risolvere il tuo integrale così:
[tex]$
\[\int {\frac{{dx}}{{(x + \frac{p}{2})^2 + (\sqrt k )^2 }}} = \frac{1}{{\sqrt k }} \cdot arctg\frac{{(x + \frac{p}{2})}}{{\sqrt k }} + c\]
$[/tex]
avendo posto per brevità
[tex]$\[k = q - \frac{{p^2 }}{4}\]$[/tex]
ho utilizazto questo metodo, ma si può arrivare alla soluzione notando che: $x^2+px+q=(x-alpha)^2+beta^2$ essendo $alpha$ e $beta$ ricavate da $alpha+i beta$ radici complesse e coniugate dell'equazione.
[tex]$
\[\int {\frac{{dx}}{{x^2 + px + q}}} \]
$[/tex]
quando il [tex]\[\Delta < 0\][/tex]. Per questo genere di integrali puoi utilizzare il metodo di completamento dei quadrati che ti consente di risolvere il tuo integrale così:
[tex]$
\[\int {\frac{{dx}}{{(x + \frac{p}{2})^2 + (\sqrt k )^2 }}} = \frac{1}{{\sqrt k }} \cdot arctg\frac{{(x + \frac{p}{2})}}{{\sqrt k }} + c\]
$[/tex]
avendo posto per brevità
[tex]$\[k = q - \frac{{p^2 }}{4}\]$[/tex]
ho utilizazto questo metodo, ma si può arrivare alla soluzione notando che: $x^2+px+q=(x-alpha)^2+beta^2$ essendo $alpha$ e $beta$ ricavate da $alpha+i beta$ radici complesse e coniugate dell'equazione.
Ciao! Grazie mille per la risposta. Ho provato ad usare la formula che dici tu ma purtroppo non mi trovo con gli esercizi di quel tipo.
Mi potresti fare un esempio? Magari completo?
Grazie mille
Mi potresti fare un esempio? Magari completo?
Grazie mille
prova a postare qualche integrale del tipo che non riesci a risolvere e vediamo.
ti suggerisco anche un altro metodo che a volte uso per risolvere gli integrali con il delta < 0 ( però di questa forma $ int (Ax+B) / (x^2+px+qx) dx $ ) che magari può tornarti utile. Applico meccanicamente questa formula:
$ int (Ax+B) / (x^2+px+qx) dx = A/2 int [ (2x+p)/(x^2+px+q) + (((2B)/A)-p)/(x^2+px+q)] dx = A/2 log(x^2+px+q)+ (2B-Ap)/(sqrt(4q-p^2))arctan((2x+p)/(sqrt(4q-p^2))) $
adesso però ho anche una domanda da proporvi...se davanti ad $ x^2 $ ci fosse un coefficiente, come diventerebbe la formula che ho scritto sopra?
( cioè se l'integrale fosse $ int (Ax+B) / (kx^2+px+qx) dx $ ?) sapete applicandola meccanicamente se cambia qualcosa vado in crisi!
$ int (Ax+B) / (x^2+px+qx) dx = A/2 int [ (2x+p)/(x^2+px+q) + (((2B)/A)-p)/(x^2+px+q)] dx = A/2 log(x^2+px+q)+ (2B-Ap)/(sqrt(4q-p^2))arctan((2x+p)/(sqrt(4q-p^2))) $
adesso però ho anche una domanda da proporvi...se davanti ad $ x^2 $ ci fosse un coefficiente, come diventerebbe la formula che ho scritto sopra?
( cioè se l'integrale fosse $ int (Ax+B) / (kx^2+px+qx) dx $ ?) sapete applicandola meccanicamente se cambia qualcosa vado in crisi!
raccogli $1/k$...
cioè? come?
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