Integrale fratto

[Mrs92]

$\int 1/(2x^2 - 2x + 1) dx$

$1/2 \int 1/ ((x - 1/2)^2 + (1/ sqrt(2))^2) dx$

$ 1/sqrt(2) * arctan((2x-1)/sqrt(2)) $

corretto?

[lordb]

No.....

Concentriamoci prima sul denominatore:

$p(x):2x^2 -2x +1$ è un polinomio di secondo grado con discriminante $Delta_(p(x))=-4<0$, perfetto niente scomposizione in fratti semplici!!

Riscriviamo il polinomio :

$p(x):2x^2 -2x +1=1/2((2x-1)^2+1)$

$int 1/(2x^2 - 2x + 1) dx = int 1/(1/2((2x-1)^2+1)) dx=2 int 1/ ((2x-1)^2+1) dx....$

[Mrs92]

io per riscrivere il denominatore ho usato la formula

$ (x + b/a)^2 - (b^2 - 4ac)/(4a^2) $


c'è un altro modo?

[lordb]

$p(x):ax^2+bx+c -> a (x^2+b/a *x + c/a ) -> a (x^2+b/a *x + c/a + b^2/(4a^2) - b^2/(4a^2))$
$ -> a (x^2+b/a *x + b^2/(4a^2) + c/a - b^2/(4a^2)) -> a((x+b/(2a))^2+ c/a - b^2/(4a^2))$
$-> a((x+b/(2a))^2+ (- b^2+4ac)/(4a^2))-> a((x+b/(2a))^2+ (-Delta_(p(x)))/(4a^2))->..$

[Mrs92]

sarà il caldo ma non riesco a figurarmi come hai ottenuto il denominatore...

[lordb]

Volevo che facessi tu gli ultimi passaggi, ma pazienza:

$a((x+b/(2a))^2+ (-Delta_(p(x)))/(4a^2)) -> a*(-Delta_(p(x)))/(4a^2)*((4a^2)/(-Delta_(p(x)))*(x+b/(2a))^2+ 1)$
$->(-Delta_(p(x)))/(4a)*((4a^2)/(-Delta_(p(x)))*(x+b/(2a))^2+ 1)->(-Delta_(p(x)))/(4a)*(((x+b/(2a))^2)/((-Delta_(p(x)))/(4a^2))+ 1)$
$->(-Delta_(p(x)))/(4a)*(((x+b/(2a))/(sqrt(-Delta_(p(x))/(4a^2))))^2+ 1)$

[Mrs92]

quindi lo scopo è isolare l'1?

[lordb]

Certo, altrimenti niente arcotangente....