Integrale fratto
$ int(x^2)/(1+x^6)dx $
Ho problemi a risolvere questo integrale, con il metodo dei fratti semplici non credo si possa fare in quanto il denominatore non è scomponibile.
Voi come fareste?
Grazie.
Ho problemi a risolvere questo integrale, con il metodo dei fratti semplici non credo si possa fare in quanto il denominatore non è scomponibile.
Voi come fareste?
Grazie.
Risposte
Il denominatore è una somma di due cubi... 
Non è necessario risolvere quell'integrale come un integrale fratto..
E' molto più semplice ragionare per sostituzione.
Poniamo [tex]$y = x^3$[/tex] ; [tex]$dy = 3x^2dx \Rightarrow dx = \frac{dy}{3x^2}$[/tex]
Sostituendo nell'integrale otteniamo:
[tex]$\int \frac {x^2}{1+x^6} dx = \int \frac {x^2}{1+y^2} \frac{dy}{3x^2} = \int \frac {1}{1+y^2} \frac{dy}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1+y^2}dy$[/tex]
L'integrale ottenuto è immediato, riconduce all'arcotangente:
[tex]$\frac{1}{3} \int \frac{1}{1+y^2}dy = \frac{1}{3} arctan y + C$[/tex]
Ricordiamo che [tex]$y = x^3$[/tex] , quindi la soluzione è:
[tex]$\frac{1}{3} arctan (x^3) + C$[/tex]
E' molto più semplice ragionare per sostituzione.
Poniamo [tex]$y = x^3$[/tex] ; [tex]$dy = 3x^2dx \Rightarrow dx = \frac{dy}{3x^2}$[/tex]
Sostituendo nell'integrale otteniamo:
[tex]$\int \frac {x^2}{1+x^6} dx = \int \frac {x^2}{1+y^2} \frac{dy}{3x^2} = \int \frac {1}{1+y^2} \frac{dy}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1+y^2}dy$[/tex]
L'integrale ottenuto è immediato, riconduce all'arcotangente:
[tex]$\frac{1}{3} \int \frac{1}{1+y^2}dy = \frac{1}{3} arctan y + C$[/tex]
Ricordiamo che [tex]$y = x^3$[/tex] , quindi la soluzione è:
[tex]$\frac{1}{3} arctan (x^3) + C$[/tex]
Grazie mille!!!!!!!
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