Integrale fratto

[andre85-votailprof]

Salve,
dovrei risolvere questo integrale $int 1/(1+x^4) dx$. Qualcuno potrebbe gentilmente darmi l'input per procedere?

Prima di questo avevo risolto l'integrale $int 1/(1-x^4) dx$ senza problemi con il metodo di scomposizione. Ma per quello sopra sto trovando delle difficoltà.

Ho provato con l'integrazione per parti e mi sono complicato la vita.

Vi ringrazio in anticipo.

[@melia]

Può essere d'aiuto questa scomposizione:
$1+x^4=1+x^4+2x^2-2x^2=(1+x^2)^2-(sqrt2*x)^2=(1+x^2+sqrt2*x)*(1+x^2-sqrt2*x)

[andre85-votailprof]

Quindi l'integrale diviene:
$int 1/((1+x^2+sqrt2*x)*(1+x^2-sqrt2*x)) dx$

Attuando la decomposizione viene:

$int (A/(1+x^2+sqrt2*x))+(B/(1+x^2-sqrt2*x)) dx$

dove risulta: $(A+B)x^2+(B-A)*sqrt2*x+A+B$

Fino a qui ci sono? Mi pongo questa domanda perchè facendo il sistema trovo un incongruenza.

[@melia]

La decomposizione deve essere
$int ((A*(2x+sqrt2)+B)/(1+x^2+sqrt2*x)+(C(2x-sqrt2)+D)/(1+x^2-sqrt2*x)) dx$
perché il grado del numeratore deve essere uno in meno di quello del denominatore, non 2.

[andre85-votailprof]

Il sistema se non erro dovrebbe venire in questo modo?

$\{(2A+2C=0),(Csqrt2-Asqrt2+B+D=0),(Dsqrt2-Bsqrt2=0),(Asqrt2+B-Csqrt2+D=1):}$

Guardando l'integrale di partenza non pensavo fosse così macchinoso risolverlo..

[andre85-votailprof]

Dopo tutti i calcoli sono arrivato a questo punto:

$1/sqrt2 int (x+sqrt2)/(1+x^2+xsqrt2)dx - 1/sqrt2 int x/(1+x^2-xsqrt2)dx

Per favore qualcuno può darmi una mano a procedere... sono rimasto bloccato e sono abbastanza confuso.

[deserto1]

Come suggerito da @melia la decomposizione deve essere del tipo

$int ((A(2x+sqrt2)+B)/(1+x^2+sqrt2*x)+(C(2x-sqrt2)+D)/(1+x^2-sqrt2*x)) dx$.

Risolvendo il sistema che hai impostato si ottengono i seguenti valori:

$A=1/(4sqrt(2))$, $B=D=1/4$, $C=-1/(4sqrt(2))$.

Abbiamo quindi:

$int ((1/(4sqrt(2))(2x+sqrt2)+1/4)/(1+x^2+sqrt2x)+(-1/(4sqrt(2))(2x-sqrt2)+1/4)/(1+x^2-sqrt2x)) dx$

che scomponiamo nella seguente somma di integrali:

$1/(4sqrt(2))int (2x+sqrt2)/(1+x^2+sqrt2x)dx + 1/4 int 1/(1+x^2+sqrt2x)dx -1/(4sqrt(2))int (2x+sqrt2)/(1+x^2-sqrt2x)dx + 1/4 int 1/(1+x^2-sqrt2x)dx$

Si vede subito che (ometto le costanti additive):

$int (2x+sqrt2)/(1+x^2+sqrt2x)dx=ln(1+x^2+sqrt2x)$

$int (2x+sqrt2)/(1-x^2+sqrt2x)dx=ln(1+x^2-sqrt2x)$

invece

$int 1/(1+x^2+sqrt2x)dx= int 1/((x+sqrt(2)/2)^2+1/2)dx = sqrt(2)arctan (sqrt(2)x+1)$

$int 1/(1+x^2-sqrt2x)dx= int 1/((x-sqrt(2)/2)^2+1/2)dx = sqrt(2)arctan (sqrt(2)x-1)$

A questo punto non ti resta altro che sostituire i valori trovati.

[Zuzzi1]

"deserto":Come suggerito da @melia la decomposizione deve essere del tipo



$ int ((A(2x+sqrt2)+B)/(1+x^2+sqrt2*x)+(C(2x-sqrt2)+D)/(1+x^2-sqrt2*x)) dx $.



Risolvendo il sistema che hai impostato si ottengono i seguenti valori:



$ A=1/(4sqrt(2)) $, $ B=D=1/4 $, $ C=-1/(4sqrt(2)) $.



Abbiamo quindi:



$ int ((1/(4sqrt(2))(2x+sqrt2)+1/4)/(1+x^2+sqrt2x)+(-1/(4sqrt(2))(2x-sqrt2)+1/4)/(1+x^2-sqrt2x)) dx $



che scomponiamo nella seguente somma di integrali:



$ 1/(4sqrt(2))int (2x+sqrt2)/(1+x^2+sqrt2x)dx + 1/4 int 1/(1+x^2+sqrt2x)dx -1/(4sqrt(2))int (2x+sqrt2)/(1+x^2-sqrt2x)dx + 1/4 int 1/(1+x^2-sqrt2x)dx $



Si vede subito che (ometto le costanti additive):



$ int (2x+sqrt2)/(1+x^2+sqrt2x)dx=ln(1+x^2+sqrt2x) $



$ int (2x+sqrt2)/(1-x^2+sqrt2x)dx=ln(1+x^2-sqrt2x) $



invece



$ int 1/(1+x^2+sqrt2x)dx= int 1/((x+sqrt(2)/2)^2+1/2)dx = sqrt(2)arctan (sqrt(2)x+1) $



$ int 1/(1+x^2-sqrt2x)dx= int 1/((x-sqrt(2)/2)^2+1/2)dx = sqrt(2)arctan (sqrt(2)x-1) $



A questo punto non ti resta altro che sostituire i valori trovati.

deserto non capisco perchè nell'integrale fratto tu inserisci la derivata del denominatore. Cioè si può sempre fare? O c'è una regola ben precisa? Grazie mille

[deserto1]

Ciao, se riesci a ricondurti ad un integrale avente al numeratore la derivata del denominatore, allora puoi ottenere il logaritmo come risultato.