Integrale fratto

[giulio013]

Non ho idea su come muovermi con questo integrale, qualcuno sa procedere?

1) $ int 1/(1+5^x) dx $

[pilloeffe]

Ciao giulio0,

Generalizzando un po' il discorso, risolverei l'integrale seguente:

$ int frac{dx}{1 + b^x} $

ove $ b > 1 $. Posto $t := b^x \implies dt = b^x ln(b) dx \implies dx = frac{dt}{b^x ln(b)} = frac{dt}{t ln(b)} $ si ha:

$ int frac{dx}{1 + b^x} = frac{1}{ln(b)} int frac{dt}{t(t + 1)} = frac{1}{ln(b)} [int frac{dt}{t} - int frac{dt}{t + 1}] = frac{1}{ln(b)} [ln|t| - ln|t + 1|] + c = $
$ = frac{1}{ln(b)} [ln b^x - ln(b^x + 1)] + c = x - frac{ln(b^x + 1)}{ln(b)} + c $

L'integrale proposto si ottiene nel caso particolare $b = 5 $
Nel caso particolare $ b = e $ si ha:

$ int frac{dx}{1 + e^x} = x - ln(e^x + 1) + c $

[giulio013]

Non ho capito il passaggio in cui esci fuori il logaritmo dall'integrale (non ho capito da dove sbuchi fuori quel logaritmo), potresti spiegarmelo per piacere??

Questo:

$ 1/(ln(b))intdt/(t(t+1)) $

E poi perché t(t+1)?

[pilloeffe]

"giulio0":Non ho capito il passaggio in cui esci fuori il logaritmo dall'integrale

$ln(b) $ si può portare fuori dall'integrale perché è una costante...

"giulio0":non ho capito da dove sbuchi fuori quel logaritmo

Ripassa la regola di derivazione di $a^x $, con $a \ne e $

"giulio0":E poi perché t(t+1)?

Perché $t = b^x $ e quindi il denominatore diventa $1 + t = t + 1 $; la $t$ davanti alla parentesi tonda è quella che proviene dall'aver sostituito $dx $ con $ frac{dt}{t ln(b)} $
Rileggi con più attenzione il mio post precedente.