Integrale fratto
Ciao a tutti, mi sono imbattuto nuovamente su un integrale la cui tipologia spesso mi crea problemi:
$ int (x-1)/(x^2+x+1)dx $
Essendo il delta del denominatore minore di zero, avevo pensato di ricondurlo alla seguente forma:
$ int (Ax)/(x^2+x+1)dx + intB/(x^2+x+1)dx $
Tuttavia, non mi sembra che questa soluzione mi porti a grandi vantaggi...
Suggerimenti?
Grazie in anticipo a tutti
$ int (x-1)/(x^2+x+1)dx $
Essendo il delta del denominatore minore di zero, avevo pensato di ricondurlo alla seguente forma:
$ int (Ax)/(x^2+x+1)dx + intB/(x^2+x+1)dx $
Tuttavia, non mi sembra che questa soluzione mi porti a grandi vantaggi...
Suggerimenti?
Grazie in anticipo a tutti
Risposte
se il numeratore fosse $(2x+1)$ ti piacerebbe? a me sì....a questo punto il numeratore sarebbe la derivata del denominatore e l'integrale sarebbe bello e che risolo...ergo....fallo diventare così....ti rimarrà un resto da gestire....che diventa subito..ops...ho già detto troppo
"tommik":
se il numeratore fosse $(2x+1)$ ti piacerebbe?
Ci avevo pensato, ma dividendo fuori dall'integrale per 1/2 e quindi moltiplicando dentro per 2, otterrei comunque $ 2x-2 $ a numeratore. Per questo ho scartato quest'approccio..
"intrulli":
[quote="tommik"]se il numeratore fosse $(2x+1)$ ti piacerebbe?
Ci avevo pensato, ma dividendo fuori dall'integrale per 1/2 e quindi moltiplicando dentro per 2, otterrei comunque $ 2x-2 $ a numeratore. Per questo ho scartato quest'approccio..[/quote]
sì ma $(2x-2)$ può facilmente diventare $(2x+1)-3$
$int(x-1)/(x^2+x+1)dx=1/2int(2x-2)/(x^2+x+1)dx=1/2int(2x+1)/(x^2+x+1)dx-3/2int1/(x^2+x+1)dx=...$
"tommik":
[quote="intrulli"][quote="tommik"]se il numeratore fosse $(2x+1)$ ti piacerebbe?
Ci avevo pensato, ma dividendo fuori dall'integrale per 1/2 e quindi moltiplicando dentro per 2, otterrei comunque $ 2x-2 $ a numeratore. Per questo ho scartato quest'approccio..[/quote]
sì ma $(2x-2)$ può facilemente diventare $(2x+1)-3$
[/quote]In questo caso avrei :
$ int (2x-1)/(x^2+x+1)-3intdx/(x^2+x+1) $
e quindi:
$ ln|(x^2+x+1)| -3intdx/(x^2+x+1) $
Ma mi rimane sempre problematico
(mi sa che sono negato)
prima osservazione....il modulo al logaritmo non serve, dato che il polinomio è sempre positivo (avendo il delta minore di zero)...inoltre hai messo un $(2x-1)$ al numeratore invece che $(2x+1)$
seconda osservazione....ti sei perso un "fratto due" davanti al secondo integrale e $1/2$ davanti al primo.....l'integrale restante lo puoi scomporre ancora.....dai che è facile.....
ricorda che un qualunque trinomio di secondo grado con delta minore di zero può essere trasformato in somma di quadrati nel seguente modo
$ax^2+bx+c=1/(4a)(4a^2x^2+4abx+4ac)=1/(4a)(4a^2x^2+4abx+4ac+b^2-b^2)=1/(4a)[(2ax+b)^2-Delta]$
ed è una SOMMA dato che $Delta<0$....per cui è quasi immediato trasformare il tuo integrale in qualche cosa del tipo
$int1/(1+y^2)dy=arctan(y)+c$
******************
nel tuo esempio il seguente integrale
$int1/(x^2+x+1)dx=int4/(4x^2+4x+4+1-1)dx=4int1/((2x+1)^2+3)dx=4/3int1/(1+((2x+1)/sqrt(3))^2)dx=$
$=2/sqrt(3)int1/(1+((2x+1)/sqrt(3))^2)d((2x+1)/sqrt(3))=2/sqrt(3)arctan((2x+1)/sqrt(3))+C$
tutto qui....
seconda osservazione....ti sei perso un "fratto due" davanti al secondo integrale e $1/2$ davanti al primo.....l'integrale restante lo puoi scomporre ancora.....dai che è facile.....
ricorda che un qualunque trinomio di secondo grado con delta minore di zero può essere trasformato in somma di quadrati nel seguente modo
$ax^2+bx+c=1/(4a)(4a^2x^2+4abx+4ac)=1/(4a)(4a^2x^2+4abx+4ac+b^2-b^2)=1/(4a)[(2ax+b)^2-Delta]$
ed è una SOMMA dato che $Delta<0$....per cui è quasi immediato trasformare il tuo integrale in qualche cosa del tipo
$int1/(1+y^2)dy=arctan(y)+c$
******************
nel tuo esempio il seguente integrale
$int1/(x^2+x+1)dx=int4/(4x^2+4x+4+1-1)dx=4int1/((2x+1)^2+3)dx=4/3int1/(1+((2x+1)/sqrt(3))^2)dx=$
$=2/sqrt(3)int1/(1+((2x+1)/sqrt(3))^2)d((2x+1)/sqrt(3))=2/sqrt(3)arctan((2x+1)/sqrt(3))+C$
tutto qui....
Nel durante, ho provveduto a semplificare:
$ -3/2 intdx/(x^2+x+1) $ in:
$ -3/2 intdx/((x+1/2)^2+3/4) $
$ -2 int(3/4dx)/((x+1/2)^2+3/4) $
Quindi cambiando la variabile dovrei riuscire a ricondurmi ad arctan, è giusto il procedimento?
$ -3/2 intdx/(x^2+x+1) $ in:
$ -3/2 intdx/((x+1/2)^2+3/4) $
$ -2 int(3/4dx)/((x+1/2)^2+3/4) $
Quindi cambiando la variabile dovrei riuscire a ricondurmi ad arctan, è giusto il procedimento?
sì il procedimento è giusto....ti ho messo i calcoli (senza considerare il coefficiente che hai prima dell'integrale) ma ricontrollali perché li ho fatti frettolosamente...io preferisco tenere i coefficienti interi invece che lavorare sulle frazioni....ma de gustibus....non ho controllato i tuoi conti
Grazie mille per la dritta, come sempre gentilissimo!
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