Integrale fratto

[GOPRO HERO4]

Ciao a tutti, ho questo integrale:
$ int_(0)^(4) sqrt(x)/sqrt(4-x) dx $
Vado a compiere la sostituzione:
$ x=t^2 $ cioè : $ dx=2t $
Sostituisco tutto e mi ritrovo con:
$ 2int_(0)^(4)t^2/sqrt(4-t^2) dt $
Ora come procedo? razionalizzo così da eliminare la radice al denominatore, porto al numeratore la radice (quindi $ (4-t^2) $ sarà elevato alla $ -1/2 $ o cè qualche altro metodo migliore?
Grazie

[lor_fra]

Prova con la sostituzione $t=sqrt(4-x)$ oppure la spstotuzione che hai fatto tu va anche bene prova adesso la sostituzione $t=2sentheta$ se non sbaglio ti dovrebbe uscire l integrale di $sen^2theta$ che si risolve per parti

[Volt1]

Hai provato a portare tutto sotto la radice?

[Lo_zio_Tom]

l'integrale si può tranquillamente svolgere così (ma va bene anche la sostituzione trigonometrica):

sei partito giusto:

sostituiamo $sqrt(x)=t$ ottenendo

$int2t^2/sqrt(4-t^2)dt=-2intt\cdot(-t)/sqrt(4-t^2)dt$ che facciamo per parti:$-2[tsqrt(4-t^2)-intsqrt(4-t^2)dt]=-2tsqrt(4-t^2)+2I_(1)$

[adaBTTLS1]

secondo le condizioni di Cebyscev il primo indizio di lor_fra dovrebbe essere il migliore, ma immagino che i modi siano diversi.

[Lo_zio_Tom]

$I_(1)=intsqrt(4-t^2)dt$

anche questo per parti:


$intsqrt(4-t^2)dt=tsqrt(4-t^2)-int(4-t^2-4)/(sqrt(4-t^2)dt$


$intsqrt(4-t^2)dt=tsqrt(4-t^2)-intsqrt(4-t^2)dt+int4/sqrt(4-t^2)dt$

ora il primo integrale al secondo membro lo porto al primo membro, lo sommo all'integrale di partenza ottenendo:

$intsqrt(4-t^2)dt=t/2sqrt(4-t^2)+2int1/sqrt(4-t^2)dt$


$intsqrt(4-t^2)dt=t/2sqrt(4-t^2)+2int1/sqrt(1-(t/2)^2)d(t/2)$


$intsqrt(4-t^2)dt=t/2sqrt(4-t^2)+2arcsen(t/2)$

[Lo_zio_Tom]

rimettiamo insieme i pezzi ed otteniamo che:

$intsqrt(x)/sqrt(4-x)dx=-sqrt(x)sqrt(4-x)+4arcsen(sqrt(x)/2)+C$


.....sembrava molto innocuo ma era abbastanza articolato

[GOPRO HERO4]

Intanto grazie a tutti per le risposte. Però non mi è chiaro un passaggio nella risoluzione di tommik.
Il dubbio è quando dici di integrare per parti $ sqrt(4-t^2) $ .. e come se considerassi $ 1*sqrt(4-t^2) $ vero?

[Lo_zio_Tom]

"GOPRO HERO4":Intanto grazie a tutti per le risposte. Però non mi è chiaro un passaggio nella risoluzione di tommik.
Il dubbio è quando dici di integrare per parti $ sqrt(4-t^2) $ .. e come se considerassi $ 1*sqrt(4-t^2) $ vero?

certo! il resto ti è chiaro?

[GOPRO HERO4]

Solo una cosa. Quando fai l'integrale per parti di $ sqrt(4-t^2) $ , arrivi al punto di aggiungere e togliere 4.
Quindi ti resta (se non sbaglio):
$ int -4/(sqrt(4-t^2)) dt + int (4-t^2)/(sqrt(4-t^2)) dt $
Come fa a semplificarsi $ int (4-t^2)/(sqrt(4-t^2)) dt $ per risultare $ int (sqrt(4-t^2)) dt $ ?

Per il resto tutto ok

[Lo_zio_Tom]

$(4-t^2)=sqrt(4-t^2)sqrt(4-t^2)$

[Lo_zio_Tom]

ora puoi anche provare con la sostituzione trigonometrica....che è più semplice

ponendo $t=2seny$ nell'integrale iniziale....

[GOPRO HERO4]

Ora ci provo, grazie mille per l'aiuto

[GOPRO HERO4]

Ultimissima cosa che non mi torna, come fa a risultare:
$ int1/(sqrt(1-(t/2)^2) d(t/2) $ ?

[Lo_zio_Tom]

così:

$2int1/sqrt(4-t^2)dt=2int1/sqrt(1-(t/2)^2)1/2dt$

poni $t/2=y$

quindi

$1/2dt=dy$

e l'integrale diventa

$2int1/sqrt(1-y^2)dy$

così ti torna? generalmente evito di effettuare queste sostituzioni ma mi limito a modificare il differenziale...è una procedura più snella....

[GOPRO HERO4]

ok ok tutto chiaro