Integrale (Formula del residuo)3

[Blizz1]

Ciao,
Per risolvere l'integrale: $$ \int_{\mathbb{R}} \frac{x^2}{x^4+9}dx$$

Calcolo i poli:
$x_{1}= \sqrt{3i}, x_{2}= -\sqrt{3i}, x_{3}= i \sqrt{3i}, x_{4}= -i \sqrt{3i}$

Quindi calcolo i vari residui. Ad esempio per il primo:

$Res(f(x), \sqrt{3i})= lim_{x \rightarrow \sqrt{3i}} \frac{x^2(x-\sqrt{3i})}{(x-\sqrt{3i})(x+\sqrt{3i})(x-i\sqrt{3i})(x+i\sqrt{3i})}$

Quindi nel complesso:

$I= 2\pi i \sum_{j=1}^4 Res(f(x), x_j)Ind(\alpha,x_j)$.

Ma come devo scegliere il cammino? Posso sceglierlo arbitrariamente (passante nel semipiano positivo o negativo)? In definitiva dovrebbe venire lo stesso risultato in quanto se prendo il cammino che passa sopra l'asse reale l'indice è positivo ($=+1$) ed escludo i poli $x_{2,4}$; mentre nell'altro caso l'indice è negativo ed escludo $x_{1,3}$ giusto?

[dan952]

Si praticamente il cammino è orientato positivamente se consideriamo la semicircoferenza [nota]Di raggio R e centro l'origine[/nota]+ il tratto $[-R,R]$ di asse reale percorsi in senso antiorario viceversa se consideriamo la semicirconferenza inferiore + tratto percorsi in senso orario. A seconda della scelta prendi le singolarità isolate all'interno e nel bordo del cammino.

P.s. se ricordo bene

[Blizz1]

Perfetto grazie per la conferma!