Integrale forma differenziale
Salve a tutti in un esercizio mi viene richiesto di calcolare il l'integrale curvilineo della seguente forma differenziale:
$\omega=x*(2log(xy)+1)dx+x^2/ydy$
dove la curva è la seguente:
$(4+cost,3+2sint)$ con $t in [0,\pi]$
No mi è chiare una cosa ho calcolato il dominio che dovrebbe essere:
$\{(xy>0),(y!=0):}$
Quindi dovrebbe essere il primo e terzo quadrante; escuso l'asse delle ascisse.
Ore per poter calcolare quell'integrale mi conviene vedere se la forma differenziale è esatta.Pert fare ciò verifico se è chiusa e se è definita su uno stellato automaticamente sarà esatta.
Ora in questo caso la forma differenziale è chiusa ma non è definita in uno stellato come procedo?
$\omega=x*(2log(xy)+1)dx+x^2/ydy$
dove la curva è la seguente:
$(4+cost,3+2sint)$ con $t in [0,\pi]$
No mi è chiare una cosa ho calcolato il dominio che dovrebbe essere:
$\{(xy>0),(y!=0):}$
Quindi dovrebbe essere il primo e terzo quadrante; escuso l'asse delle ascisse.
Ore per poter calcolare quell'integrale mi conviene vedere se la forma differenziale è esatta.Pert fare ciò verifico se è chiusa e se è definita su uno stellato automaticamente sarà esatta.
Ora in questo caso la forma differenziale è chiusa ma non è definita in uno stellato come procedo?
Risposte
Per inciso, nel dominio che hai detto devi anche togliere l'asse delle ordinate.
Per quanto riguarda il calcolo dell'integrale prima di procedere controlla se per caso la curva non giace interamente in una regione semplicemente connessa dove la forma è definita.
Per quanto riguarda il calcolo dell'integrale prima di procedere controlla se per caso la curva non giace interamente in una regione semplicemente connessa dove la forma è definita.
Si scusa hai rgione quindi il dominio è costituito dal primo e terzo quadrante escluso asse delle x e delle y.Io ho verificato che il punto iniziale e finale della curva; stanno nel primo quadrante.
Non basta che testa e coda ci stiano...
Come lo verifico?
Disegnala. Suggerimento: $x-4=...$ e $(y-3)/2=...$
Ci provo:
$x-4=cost$ e $(y-3)/2=sin t$
Da cui:
$(y-3)/2=sqrt(1-x^2)$
$x-4=cost$ e $(y-3)/2=sin t$
Da cui:
$(y-3)/2=sqrt(1-x^2)$
Uno sforzo in più? pensa prima di rispondere, vedrai che ci arrivi.
Lo riporto:
$(y-3)/2=sqrt(1-x^2)$
Giusto?
$(y-3)/2=sqrt(1-x^2)$
Giusto?
Sì ma finisci tu il problema adesso.
Allora la curva dovrebbe essere:
$y=3+2*sqrt(1-x^2)$
definita per $x$ $in$ $[-1,1]$
Come devo concludere ora?
$y=3+2*sqrt(1-x^2)$
definita per $x$ $in$ $[-1,1]$
Come devo concludere ora?
Non so più come proseguire ; qualche suggerimento?
Raga qualcuno che può aiutarmi a capire il ragionamento da seguire?
Il ragionamento era già stato detto: controlla se l'intero ramo di curva dato sta in una regione semplicemente connessa del dominio della forma. Se così fosse sarebbe immediato il calcolo dell'integrale. Se invece così non è va calcolato a mano con la definizione.
se la curva fosse contenuta interamente nel primo quadrante; in questo caso; potrei concludere che la forma differenziale è esatta?
Perchè avrei che il primo quadrante sarebbe un insieme stellato; e quindi chiusa implicherebbe esatta.
Per quanto riguarda la curva ho ottenuto che:
$y=3+2*sqrt(1-x^2)$ sta nel primo quadrante per $x$ $in$ $]0,1]$
e invece per $x$ $in$ $[-1,0]$ sta nel secondo quadrante; quindi fuori dal dominio.
Perchè avrei che il primo quadrante sarebbe un insieme stellato; e quindi chiusa implicherebbe esatta.
Per quanto riguarda la curva ho ottenuto che:
$y=3+2*sqrt(1-x^2)$ sta nel primo quadrante per $x$ $in$ $]0,1]$
e invece per $x$ $in$ $[-1,0]$ sta nel secondo quadrante; quindi fuori dal dominio.
Devi anche ricordare cosa era $x$, e le condizioni imposte sul parametro $t$...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo