Integrale forma differenziale
Ciao, non capisco dove sbaglio visto che il risultato non mi esce.
Calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale $(x^2/y)dx+(y/(x^2+y^2))dy$ sull'arco di circonferenza $x^2+y^2=1$, con $0<=x<=y$ e percorsa in verso antiorario. La curva su cui integrare l'ho parametrizzata con $(cost, sint)$, $t in [pi/4,pi/2]$, giusto?
Quindi ciò che devo calcolare è $-int_(pi/4)^(pi/2)cos^2tdt+int_(pi/4)^(pi/2)sintcostdt=(4-pi)/8$. Dove ho sbagliato?
Grazie!
Calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale $(x^2/y)dx+(y/(x^2+y^2))dy$ sull'arco di circonferenza $x^2+y^2=1$, con $0<=x<=y$ e percorsa in verso antiorario. La curva su cui integrare l'ho parametrizzata con $(cost, sint)$, $t in [pi/4,pi/2]$, giusto?
Quindi ciò che devo calcolare è $-int_(pi/4)^(pi/2)cos^2tdt+int_(pi/4)^(pi/2)sintcostdt=(4-pi)/8$. Dove ho sbagliato?
Grazie!
Risposte
Se c'è qualcosa di sbagliato è nel calcolo effettivo dell'integrale, perchè l'impostazione mi sembra esatta...
Confermo, problemi con il calcolo integrale. A me il tuo stesso integrale viene $3/8\pi$
Non ho controllato l'integrale, ma secondo me, se non è corretto nemmeno il risultato di newton, vorrei far notare che la condizione $0<=x<=y$, può significare anche che, in senso antiorario, si debba integrare in $[\pi/2,5/4\pi]$. Proverei eventualmente anche così.
Le condizioni sono $x=\cos t,\ y=\sin t$ con $t\in[\pi/4,\pi/2]$ e l'integrale corretto è questo
$\int_{\pi/4}^{\pi/2} [-\cos^2 t+\sin t\cos t]\ dt=\int_{\pi/4}^{\pi/2}[-1/2-1/2 \cos(2t)+1/2 \sin(2t)]\ dt=[-t/2-1/2 \sin(2t)-1/4 \cos(2t)]_{\pi/4}^{\pi/2}=$
$=-\pi/4-0+1/4+\pi/8+1/2+0={6-\pi}/8$
$\int_{\pi/4}^{\pi/2} [-\cos^2 t+\sin t\cos t]\ dt=\int_{\pi/4}^{\pi/2}[-1/2-1/2 \cos(2t)+1/2 \sin(2t)]\ dt=[-t/2-1/2 \sin(2t)-1/4 \cos(2t)]_{\pi/4}^{\pi/2}=$
$=-\pi/4-0+1/4+\pi/8+1/2+0={6-\pi}/8$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo