Integrale fastidioso

[miuemia]

ciao a tutti... non riesco a risolvere questo integrale... per parti niente, sostituzione neanche.. mi potete aiutare?

$int e^(-at^2) cos(2\pi xt)dt$ con $a>0$.
grazie a tutti

[_luca.barletta]

L'integrale è indefinito o è esteso ad $RR$?

[miuemia]

scusa... hao ragione. da zero a più infinito.

[_luca.barletta]

Allora puoi procedere così:

$int_0^(+infty) e^(-at^2) cos(2\pi xt)dt=1/2int_(-infty)^(+infty) e^(-at^2) cos(2\pi xt)dt=$
$1/2int_(-infty)^(+infty) e^(-at^2) e^(i2\pi xt)dt$

ora continua te

[miuemia]

$1/2int_(-infty)^(+infty) e^(-at^2) e^(i2\pi xt)dt$ è la trasformata di fourier.
però mi fermo qui perchè della trasformata di fourier so soltanto la definzione.

[_luca.barletta]

lo puoi risolvere anche senza conoscere la TdF, basta fare una sostituzione

[miuemia]

non riesco a vederla la sostituzione... mi puoi aiutare?

[_luca.barletta]

Se hai un integrale del tipo:

$int_(RR) e^(-alphat^2+betat)dt$ con $alpha>0, betainCC$

ti conviene riscrivere:
$-alphat^2+betat=-(sqrt(alpha)t-beta/(2sqrt(alpha)))^2+beta^2/(4alpha)$

a questo punto puoi fare la sostituzione:
$q=sqrt(alpha)t-beta/(2sqrt(alpha))$

[_nicola de rosa]

"miuemia":$1/2int_(-infty)^(+infty) e^(-at^2) e^(i2\pi xt)dt$ è la trasformata di fourier.
però mi fermo qui perchè della trasformata di fourier so soltanto la definzione.

$1/2int_(-infty)^(+infty) e^(-at^2) e^(i2\pi xt)dt=1/2int_(-infty)^(+infty) e^(-(at^2-i*2pixt)) dt$
Ora $at^2-i*2pixt=(t*sqrta-i*(pi*x)/(sqrta))^2+(pi^2x^2)/a$ per cui
$1/2int_(-infty)^(+infty) e^(-(at^2-i*2pixt)) dt=1/2*e^(-(pi^2x^2)/a)*int_(-infty)^(+infty) e^(-(t*sqrta-i*pi*x/(sqrta))^2) dt$
Ora fai la sostituzione $z=sqrta*t$ per cui
$1/2int_(-infty)^(+infty) e^(-(at^2-i*2pixt)) dt$=
$1/2*e^(-(pi^2x^2)/a)/(sqrta)*int_(-infty)^(+infty) e^(-(z-i*pi*x/(sqrta))^2) dz$=
$1/2*e^(-(pi^2x^2)/a)/(sqrta)*sqrt(pi)*1/(sqrt(pi))*int_(-infty)^(+infty)e^(-(z-i*pi*x/(sqrta))^2) dz=1/2*e^(-(pi^2x^2)/a)/(sqrta)*sqrt(pi)$
poichè $1/(sqrt(pi))*int_(-infty)^(+infty)e^(-(z-i*pi*x/(sqrta))^2) dz=1$ essendo l'integrale di una pdf gaussiana con media complessa.

[miuemia]

grazie mille a entrambi...

[miuemia]

ciao di nuovo... mi sono imbattuto su questo nuovo integrale che non so come prendere...
$int e^(2i \pi x t)/(t^2 + a^2)$ integrale su tutto $RR$.
mancava una i.

[_nicola de rosa]

"miuemia":ciao di nuovo... mi sono imbattuto su questo nuovo integrale che non so come prendere...
$Int e^(2 \pi xt)/t^2 + a^2$ integrale su tutto $RR$.

$int_{-infty}^{+infty} e^(2*pi*x*t)/(t^2 + a^2)dt$?

[_luca.barletta]

"miuemia":ciao di nuovo... mi sono imbattuto su questo nuovo integrale che non so come prendere...
$int e^(2i \pi x t)/(t^2 + a^2)$ integrale su tutto $RR$.
mancava una i.

Per integrarlo facilmente dovresti sfruttare la proprietà della dualità della TdF, in particolare prova a calcolare il seguente:

$int_(RR) e^(-a*|t|)e^(-i*2pixt)dt$ con $a>0$

[miuemia]

sarebbe quindi da calcolare $int e^(-2i \pi x t) dt$ visto che $e^(-a|x|)$ è indipendente da $t$. ???
ma se trasformo $e^(-2i \pi x t) $ in $cos(2\pi xt)-isin(2\pi x t)$ come faccio a integrare su $RR$ $sin$ e $cos$???

[_luca.barletta]

scusa ho sbagliato a digitare, ora correggo

[miuemia]

ah ok e risulta a meno di un fattore moltiplicativo $1/(t^2 +a^2)$ e adesso???

[_luca.barletta]

La proprietà della dualità dice che:

$ccF{f(t)}=g(x) harr ccF{g(t)}=f(-x)$ a meno di una costante moltiplicativa che va messa a posto.
Con $ccF{.}$ indico la TdF

[miuemia]

sapresti dirmi dove posso trovare la dimostrazione di questo fatto su internet??? te ne sarei molto grato

[_luca.barletta]

La dim è banale:

$ccF{g(t)}=int_(RR) g(t)e^(-i*2pixt)dt$
$f(t)=ccF^(-1){g(f)}=int_(RR) g(f)e^(i*2pift)df$
$f(-x)=int_(RR) g(f)e^(-i*2pifx)df=int_(RR) g(t)e^(-i*2pitx)dt$