Integrale facile, eppure non mi torna!
Ciao, ho provato con le coordinate polari (mi sembrano adatte al problema) a risolvere
$\frac{1}{a*b}\int_{-b/2}^{b/2}\int_{-a/2}^{a/2}\sqrt{x^2+y^2}\ dx\ dy$
con $x \in [-a/2,a/2]$ e $y \in [-b/2,b/2]$
$a$ e $b$ sono chiaramente costanti (assegnate o meno), e l'espressione che ottengo (funzione di $a$ e $b$) non sembra affatto giusta... mi sa che ho dimenticato tutto sul cambiamento di coordinate!
Qualcuno è all'altezza del problema?
$\frac{1}{a*b}\int_{-b/2}^{b/2}\int_{-a/2}^{a/2}\sqrt{x^2+y^2}\ dx\ dy$
con $x \in [-a/2,a/2]$ e $y \in [-b/2,b/2]$
$a$ e $b$ sono chiaramente costanti (assegnate o meno), e l'espressione che ottengo (funzione di $a$ e $b$) non sembra affatto giusta... mi sa che ho dimenticato tutto sul cambiamento di coordinate!
Qualcuno è all'altezza del problema?
Risposte
Forse hai dimenticato che, nel cambiamento , dx*dy diventa : r*dr*dteta ......
poi naturalmente x = r*cos teta
y = r sin teta .
Camillo
P.S. però un dominio rettangolare è poco adatto ad essere espresso in coordinate polari; bene invece la funzione integranda
poi naturalmente x = r*cos teta
y = r sin teta .
Camillo
P.S. però un dominio rettangolare è poco adatto ad essere espresso in coordinate polari; bene invece la funzione integranda
Quello mi sono ricordato di metterlo, Camillo ( il determinante della jacobiana, giusto? ) e infatti l'integrando mi diventa r^2*dr*dtheta che dovrebbe andar bene.
Ma il mio problema ( scusate, prima non l'ho specificato ) è come sistemare gli estremi degli integrali, cioè: in coord. cartesiane ho un rettangolo come dominio di integrazione, ma cosa mi diventa in coordinate polari? So che è banale, ma ho un sacco di dubbi.
Immagino si dovrà poi avere un prodotto di integrali, uno di dtheta (presumo tra 0 e $2\pi$ che quindi darà $2\pi$) e uno in dr, tra 0 e... e cosa? la semidiagonale del rettangolo cartesiano?
L'integrale mi serve per risolvere questo: nel rettangolo di dimensioni date (centrato nell'origine, quindi), supponete di distribuire uniformemente dei punti al suo interno: qual è la distanza media tra centro del rettangolo e uno tali punti? Non so se mi sono spiegato bene.
Per questo mi viene da dire r tra 0 e semidiagonale: perchè è la distanza massima che potrei avere, cioè quella tra centro e un vertice
P.S. ho letto ora il tuo PS, ed è proprio quello che mi dà problemi!!
ho provato a calcolare l'integrale con derive indicandogli diversi valori di a e b, poi ho provato con matlab a calcolare su un gran numero di prove la distanza media e i risultati (analitici e simulativi) coincidono, quindi tutto ok, ma magari in coord polari ottengo una forma + compatta e posso riportare su carta un'espressione non disumana !
Ma il mio problema ( scusate, prima non l'ho specificato ) è come sistemare gli estremi degli integrali, cioè: in coord. cartesiane ho un rettangolo come dominio di integrazione, ma cosa mi diventa in coordinate polari? So che è banale, ma ho un sacco di dubbi.
Immagino si dovrà poi avere un prodotto di integrali, uno di dtheta (presumo tra 0 e $2\pi$ che quindi darà $2\pi$) e uno in dr, tra 0 e... e cosa? la semidiagonale del rettangolo cartesiano?
L'integrale mi serve per risolvere questo: nel rettangolo di dimensioni date (centrato nell'origine, quindi), supponete di distribuire uniformemente dei punti al suo interno: qual è la distanza media tra centro del rettangolo e uno tali punti? Non so se mi sono spiegato bene.
Per questo mi viene da dire r tra 0 e semidiagonale: perchè è la distanza massima che potrei avere, cioè quella tra centro e un vertice
P.S. ho letto ora il tuo PS, ed è proprio quello che mi dà problemi!!
ho provato a calcolare l'integrale con derive indicandogli diversi valori di a e b, poi ho provato con matlab a calcolare su un gran numero di prove la distanza media e i risultati (analitici e simulativi) coincidono, quindi tutto ok, ma magari in coord polari ottengo una forma + compatta e posso riportare su carta un'espressione non disumana
!
Se proprio devo essere sincero a me non sembra che si tratti di un ‘integrale facile’. A parte questo credo che l’approccio seguito da ‘Ale’ [cioè operare la trasformazione in cooordinate polari…] sia quello giusto. Il problema è chiramente quello di fissare i limiti…
Innanzitutto si può sfruttare la simmetria e limitare calcolo al primo quadrante avendo l’accortezza di moltiplicare il risultato per 4. Se ci limitiamo al primo quadrante sarà chiramente $0
$alpha= tan^(-1) b/a$ (1)
… l’integrale dovrebbe risultare…
$ 1/(ab) int int_ D sqrt (x^2+y^2) dx dy$=
$4/(ab) (int_0^alpha d theta int_0^(a/(2 cos theta)) r^2 dr + int_alpha ^(pi/2) d theta int_0^(b/(2 sin theta)) r^2 dr )$ (2)
Sia chiaro che non sono sicuro al 100 per 100 della cosa. Certo anche così non si può affermare che si tratta di un integrale semplice!…
cordiali saluti
lupo grigio
P.S. facevo bene a non essere sicuro... per prima cosa ho dovuto correggere i limiti superiori degli integrali in r dividendoli per 2... ancora però non sono del tutto convinto...
Innanzitutto si può sfruttare la simmetria e limitare calcolo al primo quadrante avendo l’accortezza di moltiplicare il risultato per 4. Se ci limitiamo al primo quadrante sarà chiramente $0
$alpha= tan^(-1) b/a$ (1)
… l’integrale dovrebbe risultare…
$ 1/(ab) int int_ D sqrt (x^2+y^2) dx dy$=
$4/(ab) (int_0^alpha d theta int_0^(a/(2 cos theta)) r^2 dr + int_alpha ^(pi/2) d theta int_0^(b/(2 sin theta)) r^2 dr )$ (2)
Sia chiaro che non sono sicuro al 100 per 100 della cosa. Certo anche così non si può affermare che si tratta di un integrale semplice!…
cordiali saluti
lupo grigio
P.S. facevo bene a non essere sicuro... per prima cosa ho dovuto correggere i limiti superiori degli integrali in r dividendoli per 2... ancora però non sono del tutto convinto...
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