Integrale esteso a gamma di un campo vettoriale

[Knuckles1]

Ciao a tutti.

Sia $F(x,y)=[log(y+1)+ye^x+1]dx+[x/(y+1)+e^x+2]dy$

Allora.... il dominio che è $y>-1$ è semplicemente connesso, e il campo è conservativo...

mi si chiede di calcolare l'integrale esteso a gamma di F dove gamma è $rho=2theta^2$....

come lo risolvo? non so da che parte cominciare....

[pat871]

L'hai detto te, visto che $dF(x,y) = 0$ ed il dominio è semplicemente connesso, la tua forma è chiusa e quindi anche esatta, e per il teorema di Stokes il dato integrale è uguale all'integrale della 1-forma $\omega$ per cui $d\omega = F$ sulla frontiera dell'insieme considerato (ovvero ti riduci a calcolare un integrale di linea)...

PS: cosa sono quelle, coordinate polari?

[gugo82]

Detto in termini meno sintetici, ti si chiede di calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale ($F$ non è un campo vettoriala perchè, detto in parole povere, ci sono $"d"x$ e $"d"y$) esteso alla curva d'equazione parametrica (sempre che si stia parlando di coordinate polari...):

$\{(x=2theta^2 cos theta),(y=2theta^2 sin theta):}$

Per fare ciò hai due vie: o applichi la definizione di integrale curvilineo di una forma differenziale lineare (quindi ti riduci a calcolare un integrale ordinario nella variabile $theta$) oppure, se già conosci la primitiva della forma differenziale, ricordi che l'integrale di $f$ è la differenza dei valori che la primitiva assume agli estremi della curva.

In ogni caso, devi conoscere un valore iniziale ed uno finale per $theta$, altrimenti non puoi risolvere nulla.

[Knuckles1]

si le coordinate sono polari... e conosco la primitiva della forma differenziale...