Integrale: esercizio...
Ciao a tutti, ho un integrale che non riesco a ridurlo... l'integrale è:
$int (x+1)/(x^3+2x^2)dx$ a vederlo è semplice, ma non riesco a ridurlo in altri integrali... non so come procedere... non posso usare il metodo di sostituzione, ma solo le cose tipo aggiunggere e sottrarre la stessa quantità, moltiplicare e dividere, ma non ci riesco al primo passaggio mi fermo... avevo pensato all'inizio di aggiungere e sottrarre $x$:
$int (x+1)/(x^3+2x^2)dx=$ $int (x+1-x+x)/(x^3+2x^2)dx=$ $int (2x+1-x)/(x^2(x+2))dx$ e mi sono bloccato....
$int (x+1)/(x^3+2x^2)dx$ a vederlo è semplice, ma non riesco a ridurlo in altri integrali... non so come procedere... non posso usare il metodo di sostituzione, ma solo le cose tipo aggiunggere e sottrarre la stessa quantità, moltiplicare e dividere, ma non ci riesco al primo passaggio mi fermo... avevo pensato all'inizio di aggiungere e sottrarre $x$:
$int (x+1)/(x^3+2x^2)dx=$ $int (x+1-x+x)/(x^3+2x^2)dx=$ $int (2x+1-x)/(x^2(x+2))dx$ e mi sono bloccato....
Risposte
Aggiungendo e togliendo 1 non si riesce, credo bisogni risolverlo per parti. Domani provo, intanto provaci tu!
mmh puoi fare cosi:
$\int (x+1)/(x^2(x+2))dx$
Da questa dovresti ricondurti ad un integrale del tipo:
$\int A/x^2 dx+\int B/(x+2)dx+\int C/xdx$
Quindi:
$(x+1)/(x^2(x+2))=A/x^2+B/(x+2)+C/x$
Moltiplico ambo i membri per $x^2(x+2)$ ed ottengo:
$x+1=Ax+2A+Bx^2+Cx^2+2Cx$
$x+1=x^2(B+C)+x(A+2C)+2A$
$\{(B + C = 0),(A + 2C = 1),(2A = 1):}$
Da cui si ottiene che:
$A=1/2$, $B=-1/4$ e $C=1/4$
Da qui dovresti riuscire a continuare
$\int (x+1)/(x^2(x+2))dx$
Da questa dovresti ricondurti ad un integrale del tipo:
$\int A/x^2 dx+\int B/(x+2)dx+\int C/xdx$
Quindi:
$(x+1)/(x^2(x+2))=A/x^2+B/(x+2)+C/x$
Moltiplico ambo i membri per $x^2(x+2)$ ed ottengo:
$x+1=Ax+2A+Bx^2+Cx^2+2Cx$
$x+1=x^2(B+C)+x(A+2C)+2A$
$\{(B + C = 0),(A + 2C = 1),(2A = 1):}$
Da cui si ottiene che:
$A=1/2$, $B=-1/4$ e $C=1/4$
Da qui dovresti riuscire a continuare
giusto!!!! grazie mille!!!!!!!!!!! io nella scomposizione non mettevo l'ultimo integrale, mi ero dimenticato che $x^2$ ammette radici multimple con molteplicità algebrica $1$ per $x$ e $2$ per $x^2$....
chiedo scusa ho un altro esercizio molto simile a questo...ho l'integrale:
$int (3x^2-3)/(x^4+x^2+1)dx$ ho cercato di svolgerlo come nell'esercizio precedente a questo post... e sono arrivato:
$3int (x^2-1)/(x^4+x^2+1)dx=$ $3int (x^2-1)/[(x^2+x+1)(x^2-x+1)]dx=$ $3int (x^2-1)/[(x^2+x+1)(x^2-x+1)]dx$
e cerco di ricondurmi ad un integrale del tipo:
$\int A/(x^2+x+1) dx+\int (Bx+C)/(x^2-x+1)dx$
Quindi:
$(x^2-1)/((x^2+x+1)(x^2-x+1))=A/(x^2+x+1)+(Bx+C)/(x^2-x+1)$
faccio il minimo comune multiplo e si ha:
$[A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x^2+x+1)]/[(x^2+x+1)(x^2-x+1)]$
svolgendo i prodotti ottengo il sitema:
${(B=0),(A+B+C=1),(-A+B+C=0):}$
Da cui si ottiene che:
$A=1/2$, $B=0$ e $C=1/2$
quindi gli integrali da risolvere sono due:
$3/2int 1/(x^2-x+1)dx+3/2int 1/(x^2+x+1)dx$ però questi due sono uguali all'arcotangente invece a me deve uscire:
$3/2log |(x^2-x+1)/(x^2+x+1)|+C$ e non capisco dove stia sbagliando è lo stesso esercizio di prima...
$int (3x^2-3)/(x^4+x^2+1)dx$ ho cercato di svolgerlo come nell'esercizio precedente a questo post... e sono arrivato:
$3int (x^2-1)/(x^4+x^2+1)dx=$ $3int (x^2-1)/[(x^2+x+1)(x^2-x+1)]dx=$ $3int (x^2-1)/[(x^2+x+1)(x^2-x+1)]dx$
e cerco di ricondurmi ad un integrale del tipo:
$\int A/(x^2+x+1) dx+\int (Bx+C)/(x^2-x+1)dx$
Quindi:
$(x^2-1)/((x^2+x+1)(x^2-x+1))=A/(x^2+x+1)+(Bx+C)/(x^2-x+1)$
faccio il minimo comune multiplo e si ha:
$[A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x^2+x+1)]/[(x^2+x+1)(x^2-x+1)]$
svolgendo i prodotti ottengo il sitema:
${(B=0),(A+B+C=1),(-A+B+C=0):}$
Da cui si ottiene che:
$A=1/2$, $B=0$ e $C=1/2$
quindi gli integrali da risolvere sono due:
$3/2int 1/(x^2-x+1)dx+3/2int 1/(x^2+x+1)dx$ però questi due sono uguali all'arcotangente invece a me deve uscire:
$3/2log |(x^2-x+1)/(x^2+x+1)|+C$ e non capisco dove stia sbagliando è lo stesso esercizio di prima...
Penso che trattandosi di 2 denominatori di 2° grado, nell'impostazione dell'identità polinomiale, vadano 2 binomi di 1° grado, tipo $Ax+B$ e $Cx+D$....
Ha ragione fedran 
Devi scrivere $(x^2-1)/((x^2+x-1)(x^2-x+1))$ come $(Ax+B)/(x^2+x+1)+(Cx+D)/(x^2-x+1)$
Quindi moltiplico ambo i membri $(x^2+x-1)(x^2-x+1)$ ed ottengo:
$x^2-1=(Ax+B)(x^2-x+1)+(Cx+D)(x^2+x+1)$
Svolgo i prodotti e raccolgo come al solito:
$x^2-1=x^3(A+C)+x^2(-A+B+C+D)+x(A-B+C+D)+B+D$
Da qui si ottiene il seguente sistema:
$\{(A+C=0),(B+C+D-A=1),(A-B+C+D=0),(B+D=-1):}$
Devi scrivere $(x^2-1)/((x^2+x-1)(x^2-x+1))$ come $(Ax+B)/(x^2+x+1)+(Cx+D)/(x^2-x+1)$
Quindi moltiplico ambo i membri $(x^2+x-1)(x^2-x+1)$ ed ottengo:
$x^2-1=(Ax+B)(x^2-x+1)+(Cx+D)(x^2+x+1)$
Svolgo i prodotti e raccolgo come al solito:
$x^2-1=x^3(A+C)+x^2(-A+B+C+D)+x(A-B+C+D)+B+D$
Da qui si ottiene il seguente sistema:
$\{(A+C=0),(B+C+D-A=1),(A-B+C+D=0),(B+D=-1):}$
giusto, facendo così si trova.....ho un altro esercizio che in parte si trova e in parte no, però a me sembra di aver fatto tutto bene, l'integrale è:
$int (3x^2+2x-1)/(x^4-9)dx$ la frazione l'ho riscritta come $(Ax+B)/(x^2-3)+(Cx+D)/(x^2+3)=$
$(Ax^3-3Ax+Bx^2-3B+Cx^3+3Cx+Dx^2+3)/((x^2-3)(x^2+3))$; da cui ottengo che
${(A+C=0),(B+D=3),(-3A+3C=2),(3B+3D=-1):}$ da cui si ha: $A=-1/3, B=3, C=1/3, D=0$... Qundi gli integrali che devo risolvere sono:
$1/3int (-x+9)/(x^2+3)dx+1/3int x/(x^2-3)dx =$ $-1/3int x/(x^2+3)dx+3int 1/(x^2+3)dx+1/3int x/(x^2-3)dx =$
$-1/6int (2x)/(x^2+3)dx+1/6int (2x)/(x^2-3)dx +3int 1/[(x/sqrt3)^2+1]dx=$
$+1/6ln |x^2-3|-1/6ln|x^2+3|+sqrt3arctg[1/3xsqrt3]+C =$
$1/6ln |(x^2-3)/(x^2+3)|+sqrt3arctg[1/3xsqrt3]+C$.
Il libro invece riporta: $1/6ln |(x^2-3)/(x^2+3)|+2/9sqrt3 ln|(x-sqrt3)/(x+sqrt3)|+5/9sqrt3 arctg[1/3xsqrt3]+C$
.... non capisco dove sto sbagliando mi sembra tutto corretto ho ricontrollato i calcoli 200 volte ma non mi trovo!! dove sto sbagliando?
$int (3x^2+2x-1)/(x^4-9)dx$ la frazione l'ho riscritta come $(Ax+B)/(x^2-3)+(Cx+D)/(x^2+3)=$
$(Ax^3-3Ax+Bx^2-3B+Cx^3+3Cx+Dx^2+3)/((x^2-3)(x^2+3))$; da cui ottengo che
${(A+C=0),(B+D=3),(-3A+3C=2),(3B+3D=-1):}$ da cui si ha: $A=-1/3, B=3, C=1/3, D=0$... Qundi gli integrali che devo risolvere sono:
$1/3int (-x+9)/(x^2+3)dx+1/3int x/(x^2-3)dx =$ $-1/3int x/(x^2+3)dx+3int 1/(x^2+3)dx+1/3int x/(x^2-3)dx =$
$-1/6int (2x)/(x^2+3)dx+1/6int (2x)/(x^2-3)dx +3int 1/[(x/sqrt3)^2+1]dx=$
$+1/6ln |x^2-3|-1/6ln|x^2+3|+sqrt3arctg[1/3xsqrt3]+C =$
$1/6ln |(x^2-3)/(x^2+3)|+sqrt3arctg[1/3xsqrt3]+C$.
Il libro invece riporta: $1/6ln |(x^2-3)/(x^2+3)|+2/9sqrt3 ln|(x-sqrt3)/(x+sqrt3)|+5/9sqrt3 arctg[1/3xsqrt3]+C$
.... non capisco dove sto sbagliando mi sembra tutto corretto ho ricontrollato i calcoli 200 volte ma non mi trovo!! dove sto sbagliando?
"domy90":
giusto, facendo così si trova.....ho un altro esercizio che in parte si trova e in parte no, però a me sembra di aver fatto tutto bene, l'integrale è:
$int (3x^2+2x-1)/(x^4-9)dx$ la frazione l'ho riscritta come $(Ax+B)/(x^2-3)+(Cx+D)/(x^2+3)=$
$(Ax^3-3Ax+Bx^2-3B+Cx^3+3Cx+Dx^2+3)/((x^2-3)(x^2+3))$
Mi sembra sia qui l'errore
$(Ax+B)(x^2+3)+(Cx+D)(x^2-3)$
Moltiplichi per $(x^2-3)(x^2+3)$, probabilmente hai invertito
un attimo non ho capito.... cioè non devo fare il minimo comune multipli tra quelle due frazioni?
Si
hai che:
$(3x^2+2x-1)/((x^2-3)(x^2+3))=(Ax+B)/(x^2-3)+(Cx+D)/(x^2+3)$
$3x^2+2x-1=(Ax+B)(x^2+3)+(Cx+D)(x^2+3)$
Qui ho moltiplicato ambo i membri per $(x^2-3)(x^2+3)$ e da qui imposti il sistema per trovare i parametri
hai che:
$(3x^2+2x-1)/((x^2-3)(x^2+3))=(Ax+B)/(x^2-3)+(Cx+D)/(x^2+3)$
$3x^2+2x-1=(Ax+B)(x^2+3)+(Cx+D)(x^2+3)$
Qui ho moltiplicato ambo i membri per $(x^2-3)(x^2+3)$ e da qui imposti il sistema per trovare i parametri
perchè al secondo membro nessun termine moltiplica $(x^2-3)$???
$(x^2-3)(x^2+3)(3x^2+2x-1)/((x^2-3)(x^2+3))=(x^2-3)(x^2+3)[(Ax+B)/(x^2-3)+(Cx+D)/(x^2+3)]$ al primo scompare tutto e rimane solo
$3x^2+2x-1$
al secondo non si ha che:
$(x^2-3)(x^2+3)(Ax+B)/(x^2-3)+(x^2-3)(x^2+3)(Cx+D)/(x^2+3)$ i termini uguali se ne vanno e rimane solo:
$(x^2+3)(Ax+B)+(Cx+D)(x^2-3)$...????
$(x^2-3)(x^2+3)(3x^2+2x-1)/((x^2-3)(x^2+3))=(x^2-3)(x^2+3)[(Ax+B)/(x^2-3)+(Cx+D)/(x^2+3)]$ al primo scompare tutto e rimane solo
$3x^2+2x-1$
al secondo non si ha che:
$(x^2-3)(x^2+3)(Ax+B)/(x^2-3)+(x^2-3)(x^2+3)(Cx+D)/(x^2+3)$ i termini uguali se ne vanno e rimane solo:
$(x^2+3)(Ax+B)+(Cx+D)(x^2-3)$...????
"domy90":
perchè al secondo membro nessun termine moltiplica $(x^2-3)$???
$(x^2-3)(x^2+3)(3x^2+2x-1)/((x^2-3)(x^2+3))=(x^2-3)(x^2+3)[(Ax+B)/(x^2-3)+(Cx+D)/(x^2+3)]$ al primo scompare tutto e rimane solo
$3x^2+2x-1$
al secondo non si ha che:
$(x^2-3)(x^2+3)(Ax+B)/(x^2-3)+(x^2-3)(x^2+3)(Cx+D)/(x^2+3)$ i termini uguali se ne vanno e rimane solo:
$(x^2+3)(Ax+B)+(Cx+D)(x^2-3)$...????
a me sembra giusto cosi come hai fatto nell'ultima passaggio:
al primo fattore $(x^2-3)$ semplifica il denominatore di $Ax+B$, mentre al secondo succede il contrario
Prova e vedi se viene giusto, male che vada ti ho fatto perdere 15 minuti, se arriva qualcuno che dice è tutto sbagliato
oddio quanto sono distratto!!! scusami hai ragione ho invertito!
ho scambiato i denominatori delle frazioni così da non rifare i calcoli per trovare $A,B,C,D$ e così ho scoperto che non si trova... non è che i il libro ha trovto i risultati con un programma e non a mano? perchè anche in un altro esercizio ciò che non mi trovo sono i coefficienti... come posso fare per capire se sbaglio?
Riscrivendo $(3x^2+2x-1)/((x^2-3)(x^2+3))$ come segue dovresti riuscire a trovare le primitive
$(3x^2+2x-1)/((x^2-3)(x^2+3))=(Ax+B)/(x^2-3)+(Cx+D)/(x^2+3)$
$3x^2+2x-1=(Ax+B)(x^2+3)+(Cx+D)(x^2-3)$
$3x^2+2x-1=Ax^3+3Ax+Bx^2+3B+Cx^3-3Cx+Dx^2-3D$
$3x^2+2x-1=x^3(A+C)+x^2(B+D)+x(3A-3C)+3B-3D$
$\{(A+C=0),(B+D=3),(3A-3C=2),(3B-3D=-1):}$
$\{(A=-C),(B+D=3),(-3C-3C=2),(3B-3D=-1):}$
$\{(A=1/3),(B+D=3),(C=-1/3),(3B-3D=-1):}$
$\{(A=1/3),(B=4/3),(C=-1/3),(D=5/3):}$
Riprova con questi, al massimo una volta che hai trovato la tua $F(x)$ puoi scrivere " calcolatore derivate" su google e provare ad inserire la tua funzione nel primo link di wolfram alpha e vedere se ti torna quella di partenza
$(3x^2+2x-1)/((x^2-3)(x^2+3))=(Ax+B)/(x^2-3)+(Cx+D)/(x^2+3)$
$3x^2+2x-1=(Ax+B)(x^2+3)+(Cx+D)(x^2-3)$
$3x^2+2x-1=Ax^3+3Ax+Bx^2+3B+Cx^3-3Cx+Dx^2-3D$
$3x^2+2x-1=x^3(A+C)+x^2(B+D)+x(3A-3C)+3B-3D$
$\{(A+C=0),(B+D=3),(3A-3C=2),(3B-3D=-1):}$
$\{(A=-C),(B+D=3),(-3C-3C=2),(3B-3D=-1):}$
$\{(A=1/3),(B+D=3),(C=-1/3),(3B-3D=-1):}$
$\{(A=1/3),(B=4/3),(C=-1/3),(D=5/3):}$
Riprova con questi, al massimo una volta che hai trovato la tua $F(x)$ puoi scrivere " calcolatore derivate" su google e provare ad inserire la tua funzione nel primo link di wolfram alpha e vedere se ti torna quella di partenza
si trova!!!!!!!! un ultima cosa riguardo un altro esercizio... devo sempre risolvere un integrale $int x^3/(x^6-8)dx$ allora scompongo il denominatore e diventa $(x^2-2)(x^4+2x^2+4)$ quindi la frazione la riscrivo come:
$x^3/((x^2-2)(x^4+2x^2+4))$ ora non riesco a trovare le frazione con le $A,B,C,D...$ecc cioè non la riesco a scrivere, e non so come si fa in questo caso....
$x^3/((x^2-2)(x^4+2x^2+4))$ ora non riesco a trovare le frazione con le $A,B,C,D...$ecc cioè non la riesco a scrivere, e non so come si fa in questo caso....
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