Integrale ellittico di prima specie

[lucadileta1]

Buonasera a tutti, mi trovo a dover ricavare i passaggi inerenti la trasformazione dell'integrale incompleto di prima specie in una sua forma equivalente, il testo da cui sto studiando ottiene come risultato senza fornire alcuna speigazione quanto segue

$ F=int_(L)^(oo) (A dS)/((A^2+S^2)*(1+S^2))^(1/2) $

dove aggiunge che il modulo $ K^2=1-1/A^2$ e l'argomento è $arctan(A/L)$

ora io partendo dalla forma convenzionale dell'integrale ellitico incompleto di prima specie dovrei ottenere lo stesso risultato

allora parto da quanto segue

$ F=int_(0)^(phi) (d theta)/(1-K^2*sin^2theta)^(1/2) $

ora impongo $ S= tan theta$ e ricordando $ K^2=1-1/A^2$ ottengo dopo pochi passaggi il risultato seguente

$ F=int_(0)^(phi) (A dS)/((A^2+S^2)*(1+S^2))^(1/2) $

il problema che ho si presenta con gli estremi di integrazione dato che secondo la mia sostituzione otterrei quanto segue

$ F=int_(0)^(tan phi) (A dS)/((A^2+S^2)*(1+S^2))^(1/2) $

qualcuno saprebbe indicarmi dove sbaglio? grazie in anticipo a tutti e buona serata!

[gugo82]

Ormai abbiamo capito che i calcoli non sono il tuo forte.

"lucadileta":Buonasera a tutti, mi trovo a dover ricavare i passaggi inerenti la trasformazione dell'integrale incompleto di prima specie in una sua forma equivalente, il testo da cui sto studiando ottiene come risultato senza fornire alcuna speigazione quanto segue

$ F=int_(L)^(oo) (A dS)/((A^2+S^2)*(1+S^2))^(1/2) $

dove aggiunge che il modulo $ K^2=1-1/A^2$ e l'argomento è $arctan(A/L)$

ora io partendo dalla forma convenzionale dell'integrale ellitico incompleto di prima specie dovrei ottenere lo stesso risultato

allora parto da quanto segue

$ F=int_(0)^(phi) (d theta)/(1-K^2*sin^2theta)^(1/2) $

Se il nuovo integrale ha da avere un estremo \(=+\infty\), mi immagino che da qualche parte si debba fare una sostituzione che coinvolga \(\frac{1}{\sin \theta}\) oppure \(\frac{1}{\tan \theta}\) (poiché, simbolicamente, \( \frac{1}{\sin 0^+} = +\infty=\frac{1}{\tan 0^+}\)).

Quindi vediamo un po'...

Prendendo, come consigliato \(K^2= 1-1/A^2\), si ha:
\[
\begin{split}
\frac{1}{1-K^2\ \sin^2 \theta} &= \frac{1}{(1-\sin^2 \theta)+\frac{1}{A^2}\ \sin^2 \theta} \\
&= \frac{A^2}{A^2\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}\\
&=\frac{A^2}{\sin^2\theta\ \left( \frac{A^2}{\tan^2 \theta} +1\right)}\\
&= \frac{A^2}{\sin^2 \theta}\ \frac{1}{\frac{A^2}{\tan^2 \theta} +1}\\
&= \frac{A^2}{\frac{\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}}\ \frac{1}{\frac{A^2}{\tan^2 \theta} +1}\\
&= \frac{A^2 (1+\tan^2 \theta)}{\tan^2 \theta}\ \frac{1}{\frac{A^2}{\tan^2 \theta} +1}\; ,
\end{split}
\]
perciò:
\[
\frac{1}{\sqrt{1-K^2\ \sin^2 \theta}} = \frac{A \sqrt{1+\tan^2 \theta}}{\tan \theta\ \sqrt{\frac{A^2}{\tan^2 \theta} +1}}
\]
L'ultimo membro suggerisce una delle sostituzioni intuite in precedenza, cioè:
\[
S=\frac{A}{\tan \theta}
\]
da cui si trae:
\[
\begin{split}
\text{d} S &= - \frac{A}{\tan^2 \theta}\ \frac{1}{\cos^2 \theta}\ \text{d}\theta \\
&= -\frac{A}{\tan^2 \theta}\ (1+\tan^2 \theta)\ \text{d} \theta\\
&\stackrel{\tan \theta =A/S}{=} -\frac{S^2}{A}\ \left( 1+ \frac{A^2}{S^2}\right)\ \text{d} \theta\\
&= - \frac{1}{A}\ (S^2+A^2)\ \text{d} \theta
\end{split}
\]
e:
\[
\begin{split}
\int_0^\phi \frac{1}{\sqrt{(1-K^2\ \sin^2 \theta)}}\ \text{d} \theta &= \int_0^\phi \frac{A \sqrt{1+\tan^2 \theta}}{\tan \theta\ \sqrt{\frac{A^2}{\tan^2 \theta} +1}}\ \text{d} \theta\\
&\stackrel{\tan \theta =A/S}{=} \int_{+\infty}^{A/\tan \phi} \frac{S\ \sqrt{1+(A/S)^2}}{\sqrt{S^2+1}}\ \left( -\frac{A}{A^2+S^2}\right)\ \text{d} S\\
&= \int_{A/\tan \phi}^{+\infty} \frac{A\sqrt{A^2+S^2}}{(A^2+S^2)\ \sqrt{S^2-1}}\ \text{d} S\\
&= \int_{L}^{+\infty} \frac{A}{\sqrt{(A^2+S^2)\ (S^2+1)}}\ \text{d} S
\end{split}
\]
ed \(L=A/\tan \phi\), ossia \(\phi = \arctan (A/L)\).

P.S.: Un matematico che fa i conti meglio di un ingegnere non si era mai visto... Si vede che i tempi cambiano!
(O forse ero io a dover fare l'ingegnere??? )

[lucadileta1]

Ciao gugo buonasera! innanzitutto grazie mille della risposta, come sempre chiaro ed esaustivo! devo dire poi che ormai si è capito che io ed i calcoli non siamo proprio migliori amici , mi sembra che me lo disse anche il mio prof di meccanica razionale dopo un "orrore" di calcolo quindi non sei il primo ahimè.... per quanto riguarda tu come ingegnere??? bhè, penso da quello che ho potuto capire, con il tuo talento potresti fare molte cose, qui in svizzera ti farebbero un tappeto d'oro...