Integrale e unicità della x
Ciao! Potete darmi una mano con questo esercizio? Non avendo la soluzione devo accertarmene, e comunque ho qualche dubbio.
Mi si chiede di provare che esiste uno e un solo $x in R$ tale che:
$ 1-int_(0)^(x) (sin^2(t^3))/(1+t^2)dt=x $
Allora, ammesso e concesso che un solo x equivalga a dire una sola radice o soluzione, ho pensato di sfruttare il teorema degli zeri (per provare che esiste almeno una soluzione) e di analizzare la monotonia della funzione (per provare che ve ne è solo una).
Allora trovare due valori per cui $f(a)*f(b)<0$ non lo trovo affatto semplice, magari mi sfugge qualcosa.
Per quanto riguarda la monotonia, una volta fatta la derivata (é corretta?):
$ d/dx (1-int_(0)^(x) (sin^2(t^3))/(1+t^2)dt -x)= -(sin^2(x^3))/(1+x^2)-1 $
Dato che:
$ -(sin^2(x^3))/(1+x^2)-1 > 0 $
$ (sin^2(x^3))/(1+x^2) < -1 $
visto che questa relazione non avviene mai, perchè il seno alla seconda è sempre positivo così come il denominatore, allora posso affermare che essendo la funzione monotona (decrescente ?) ammette una e una sola x.
Mi si chiede di provare che esiste uno e un solo $x in R$ tale che:
$ 1-int_(0)^(x) (sin^2(t^3))/(1+t^2)dt=x $
Allora, ammesso e concesso che un solo x equivalga a dire una sola radice o soluzione, ho pensato di sfruttare il teorema degli zeri (per provare che esiste almeno una soluzione) e di analizzare la monotonia della funzione (per provare che ve ne è solo una).
Allora trovare due valori per cui $f(a)*f(b)<0$ non lo trovo affatto semplice, magari mi sfugge qualcosa.
Per quanto riguarda la monotonia, una volta fatta la derivata (é corretta?):
$ d/dx (1-int_(0)^(x) (sin^2(t^3))/(1+t^2)dt -x)= -(sin^2(x^3))/(1+x^2)-1 $
Dato che:
$ -(sin^2(x^3))/(1+x^2)-1 > 0 $
$ (sin^2(x^3))/(1+x^2) < -1 $
visto che questa relazione non avviene mai, perchè il seno alla seconda è sempre positivo così come il denominatore, allora posso affermare che essendo la funzione monotona (decrescente ?) ammette una e una sola x.
Risposte
Ciao. Secondo me il fatto che una funzione continua su intervallo sia strettamente monotona non è sufficiente ad affermare che la soluzione esista. Se esiste, allora per il fatto che è continua e monotona tale soluzione è unica. Per esempio $f(x)=e^x$ è continua su tutto $R$ e strettamente monotona ma $e^x=0$ mai.
Posto $F(x) = 1-int_0^xsin^2(t^3)/(1+t^2)dt-x$
si cerca se esiste $x:F(x)=0$
Qui c'è il passaggio delicato: poiché $sin^2(t^3)/(1+t^2)\geq0$ per ogni $t$ allora anche $int_0^xsin^2(t^3)/(1+t^2)dt\geq0$
Noto che per $x=0$, $F(0)=1$. Se ora prendo $x_0>1$ avrò che $1-x_0<0$ e $-int_0^(x_0)sin^2(t^3)/(1+t^2)dt\leq0$
Allora in $F(x_0)<0$
Poiché $F(x)$ continua (su tutto $R$ addirittura) per il teorema degli zeri la soluzione esiste. Per quello che hai mostrato tu, poi, tale soluzione è unica
Posto $F(x) = 1-int_0^xsin^2(t^3)/(1+t^2)dt-x$
si cerca se esiste $x:F(x)=0$
Qui c'è il passaggio delicato: poiché $sin^2(t^3)/(1+t^2)\geq0$ per ogni $t$ allora anche $int_0^xsin^2(t^3)/(1+t^2)dt\geq0$
Noto che per $x=0$, $F(0)=1$. Se ora prendo $x_0>1$ avrò che $1-x_0<0$ e $-int_0^(x_0)sin^2(t^3)/(1+t^2)dt\leq0$
Allora in $F(x_0)<0$
Poiché $F(x)$ continua (su tutto $R$ addirittura) per il teorema degli zeri la soluzione esiste. Per quello che hai mostrato tu, poi, tale soluzione è unica
@Stanzi: Hai studiato il teorema delle contrazioni?
"TeM":
Ora, notando che \[ 0 \le \frac{\sin^2\left(t^3\right)}{1+t^2} \le \frac{1}{1+t^2} \; \; \; \forall\, t \in [0,\,+\infty) \] allora \[ 0 \le \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2\left(t^3\right)}{1+t^2}\,\text{d}t \le \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^2}\,\text{d}t = \frac{\pi}{2} \] e per il criterio del confronto per integrali impropri di prima specie tale integrale è convergente;
in particolare, per il teorema sulla continuità della funzione integrale, è una funzione continua in
\([0,\,+\infty)\). Dal momento che tale funzione integrale è dispari rispetto all'origine, allora risulta con-
tinua in tutto \(\mathbb{R}\).
Capito l'ho capito, il problema è che quel confronto durante un esame non mi verrebbe mai in mente! e gli integrali impropri sono stati a mala pena spiegati, anche se qui si tratta solo di un "banale" ragionamento. Una strada più semplice non c'è?
"TeM":
Siamo al traguardo: una funzione \(f\) strettamente monotona la cui immagine è \(\mathbb{R}\) non può che
avere uno ed uno solo zero, ossia l'equazione \(f(x) = 0\) ammette una ed una sola soluzione.
Chiarissimo!
"dissonance":
@Stanzi: Hai studiato il teorema delle contrazioni?
No, di che si tratta?
"Ziben":
Se ora prendo $ x_0>1 $ avrò che $ 1-x_0<0 $ e $ -int_0^(x_0)sin^2(t^3)/(1+t^2)dt\leq0 $
Allora in $ F(x_0)<0 $
Poiché $ F(x) $ continua (su tutto $ R $ addirittura) per il teorema degli zeri la soluzione esiste.
Quel allora in $F(x_0)<0 $ non l'ho capito, non ho capito che cosa mi dimostra.
Dici che è continua perchè?
Grazie mille a tutti.
"Stanzi96":
[quote="Ziben"]
Se ora prendo $ x_0>1 $ avrò che $ 1-x_0<0 $ e $ -int_0^(x_0)sin^2(t^3)/(1+t^2)dt\leq0 $
Allora in $ F(x_0)<0 $
Poiché $ F(x) $ continua (su tutto $ R $ addirittura) per il teorema degli zeri la soluzione esiste.
Quel allora in $ F(x_0)<0 $ non l'ho capito, non ho capito che cosa mi dimostra.
Dici che è continua perchè?
[/quote]
Mi sono perso un pezzettino, volevo scrivere che in $x_0>1$, $F(x_0)<0$.
Ho che $F(0)=1>0$ e per un $x_0>1$ $F(x_0)<0$. $F$ è continua perché composizione di funzioni continue (altrimenti non avresti potuto di certo derivare). Allora $\existsx: F(x)=0$.
Fai riferimento alla soluzione di TeM, non ti curare di ciò che ho scritto se ti crea confusione.
Grazie a tutti ho capito tutte le soluzioni che mi avete proposto adesso! 
Il teorema delle contrazioni dice, in particolare, che se \(I\) è un intervallo chiuso oppure \(I=\mathbb R\), e \(F\colon I\to I\) è una funzione continua tale che
\[
|F(x)-F(y)|\le \rho |x-y|, \]
per un \(0\le \rho<1\) (si dice in questo caso che \(F\) è una "contrazione"), allora l'equazione \(F(x)=x\) ha una e una sola soluzione.
Nel tuo caso
\[
F(x)=1-\int_0^x \frac{\sin^2(t^3)}{1+t^2}\, dt, \quad I=\mathbb R \]
e dimostrare che questa funzione è una contrazione non è difficile e si riduce a dimostrare che
\[
\sup \left\lvert \frac{\sin^2(t^3)}{1+t^2}\right\rvert <1.\]
\[
|F(x)-F(y)|\le \rho |x-y|, \]
per un \(0\le \rho<1\) (si dice in questo caso che \(F\) è una "contrazione"), allora l'equazione \(F(x)=x\) ha una e una sola soluzione.
Nel tuo caso
\[
F(x)=1-\int_0^x \frac{\sin^2(t^3)}{1+t^2}\, dt, \quad I=\mathbb R \]
e dimostrare che questa funzione è una contrazione non è difficile e si riduce a dimostrare che
\[
\sup \left\lvert \frac{\sin^2(t^3)}{1+t^2}\right\rvert <1.\]
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