Integrale e un limite...

[Claudia881]

Scusate per le domande forse banali, ma sono al primo anno di matematica e sono un po' spaesata...

$ int_0^1 log(1+x)/sqrt(1+x) dx

Poi... come si risolve e quanto fa un limite del genere?

$ lim_(x->+oo) sin x/x

Oppure col coseno, oppure senza dividere per x... semplicemente quanto fa $ lim_(x->+oo) sin x ?

Grazie...

Claudia

[gugo82]

"Claudia88":Poi... come si risolve e quanto fa un limite del genere?

$ lim_(x->+oo) sin x/x

Oppure col coseno, oppure senza dividere per x... semplicemente quanto fa $ lim_(x->+oo) sin x ?

Grazie...

Claudia

Ciao Claudia e benvenuta!

Comincio a risponderti dal limite. La questione è molto più semplice da risolvere di quanto non appaia.
Innanzitutto ricordati che il $sinx$, così come pure il $cosx$, sono funzioni periodiche di periodo $2pi$ che assumono tutti i valori tra $-1$ ed $1$: perciò non appena fissi un intervallo $I$ con ampiezza $ge 2pi$ la funzione $sinx$ prende tutti i valori nell'intervallo $[-1,1]$.
Quanto detto ti porta subito ad affermare che il $lim_(xto pm oo)sinx$ ed il $lim_(xto pm oo)cosx$ non possono esistere.
Supponendo per assurdo che esistesse finito il $lim_(xto +oo)sinx$, detto $l$ tale limite, per definizione di limite in corrispondenza del numero positivo $epsilon=1/2*max{|1-l|,|1+l|}$ dovresti avere:

(*) $quad exists M>0:quad AAx in [M,+oo[, |sinx-l|
nell'intervallo $J=[M,+oo[$ (che ha ampiezza infinita e quindi $>2pi$) la funzione $sinx$ assume tutti i valori compresi nell'intervallo $[-1,1]$: scegliamo un $y,z in J$ in modo che $siny=1$ e $sinz=-1$; per la relazione (*) avresti:

$|siny-l|=|1-l|
il che è palesemente assurdo. Ne consegue che il limite $lim_(xto +oo)sinx$ non può esistere finito; d'altra parte se fosse $lim_(xto +oo)sinx=pm oo$, dovremmo trovare almeno un intervallo $J=[M,+oo[$ in ogni punto $x$ del quale risulti $|sinx|>2$ (ad esempio), ma ciò è di nuovo assurdo perchè come sappiamo è $|sinx|le 1$ per ogni $x in RR$.
Tirando le somme $lim_(xto +oo)sinx$ non può esistere e non esiste; lo stesso vale per $lim_(xto -oo)sinx$ e $lim_(xto pm oo)cosx$.

Tuttavia il limite $lim_(xto +oo)(sinx)/x$ esiste eccome!
Infatti dovresti aver studiato una facile proposizione che si enuncia pressapoco così:

Siano $f,g:AtoRR$ e $x_0in barRR=RR cup {pm oo}$ un punto di accumulazione per $A$.
Se $f$ è infinitesima in $x_0$ (cioè se $lim_(xto x_0)f(x)=0$) e se $g$ si mantiene limitata intorno ad $x_0$ (ossia se esistono un intorno $J$ di $x_0$ ed una costante positiva $L$ tali che $AA x in I cap A-{x_0}, |g(x)|le L$), allora risulta:

$lim_(xto x_0)f(x)*g(x)=0$.

Questa proposizione fa proprio al caso tuo.
Infatti puoi prendere $x_0=+oo$, $f(x)=1/x$ (cosicchè $lim_(xto +oo)f(x)=0$) e $g(x)=sinx$ (trovando $AAxin RR, |sinx|le 1$): una semplice applicazione della proposizione precedente ti porta ad affermare che:

$lim_(xto +oo)(sinx)/x=0$.

Spero di essere stato chiaro (e di non aver commesso errori! ).

Prima di fare esercizi, guardati un po' la teoria: ti assicuro che ti verrà tutto più facile.
Buono studio!

[gugo82]

"Claudia88":Scusate per le domande forse banali, ma sono al primo anno di matematica e sono un po' spaesata...

$ int_0^1 log(1+x)/sqrt(1+x) dx

Presuppongo che tu voglia un suggerimento per risolvere l'integrale...
Innanzitutto devi calcolare una primitiva della funzione integranda, cioè devi determinare l'integrale indefinito di $log(1+x)/sqrt(1+x)$, e poi devi applicare la formula che ti consente di ricavare il valore dell'integrale definito a partire da quello indefinito (insomma si tratta di applicare la parte finale del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale).

Per l'integrale indefinito puoi affrontare il problema così: prova ad integrare per parti col fattore differenziale $1/(sqrt(1+x))$ (infatti di questa funzione puoi calcolare una primitiva "a occhio", consultando le tabelle degli integrali fondamentali) e col fattore finito $log(1+x)$ (invece di questa funzione sai calcolare subito la derivata prima).

Prova e fammi sapere che è venuto fuori!

[Claudia881]

Ok grazie mille!

Per il limite ho capito, conoscevo il limite notevole per $ (x->0) $ma non quello per $ (x->+oo )
Ma per il coseno invece?

Provo l'integrale coi tuoi suggerimenti...

Grazie,

Claudia

[Camillo]

Se ti riferisci a $lim_(x rarr +oo) cosx/x $ , vale $0$ in quanto anche in questo caso si ha il prodotto di una funzione infinitesima $ 1/x $ per una limitata $cos x $ .

[Claudia881]

"Camillo":Se ti riferisci a $lim_(x rarr +oo) cosx/x $ , vale $0$ in quanto anche in questo caso si ha il prodotto di una funzione infinitesima $ 1/x $ per una limitata $cos x $ .

Ah giusto, è vero...

[MikeB1]

Ciao Claudia!L'integrale che non riesci a fare in realtà è molto semplice.Si tratta di mettere in pratica qualche "trucchetto"...
Cominciamo col notare che $dx/sqrt(1+x)=2d(sqrt(1+x))$ quindi l'integrale può essere riscritto così:

$2*int_0^1 log(1+x)d(sqrt(1+x))$

notiamo adesso che $log(1+x)=2*log(sqrt(1+x))$ quindi andando ancora a sostituire:

$4*int_0^1 log(sqrt(1+x))d(sqrt(1+x))$

Adesso per renderlo più leggibile operiamo il cambio di variabile $t=sqrt(1+x)$

ricordiamoci di cambiare gli estremi di integrazione: per $x=0, t=1$ (il primo estremo) e per $x=1, t=sqrt(2)$ (il secondo estremo).

Siamo arrivati ad avere: $4*int_1^sqrt(2) log(t)dt$

Adesso l'integrale si calcola per parti:

$4*(t*log(t)|_1^sqrt(2)-int_1^sqrt(2) t*D[log(t)]dt) = 4*(t*log(t)|_1^sqrt(2)-int_1^sqrt(2) dt) = 4*(t*log(t)|_1^sqrt(2)-sqrt(2)+1) ~= 0.3037$

Spero di esserti stato utile!
Ciao alla prossima!

[_prime_number]

Per il seno si può usare anche il Teorema del Confronto
$ -1/x <= (senx) /x <= 1/x$

Di solito, Claudia, se ti trovi davanti a limiti di seni o coseni con argomento che va all' $\infty$ il Teorema del Confronto può essere un valido aiuto.

Ciao!

Paola