Integrale e Trasformata Continua di Fourier
Ciao, verificando lo svolgimento di un esercizio che richiede il calcolo di un integrale, mi sono imbattuto in una semplificazione che mi appare poco lecita forse perché non la capisco a fondo.
L'integrale è il seguente: [tex]\int_{-\infty}^{+\infty}N_{0}A^2T^2sinc^2(fT)rect(\frac{f}{T})df[/tex]
Tenendo conto che la antitrasformata di fourier di [tex]Tsinc(fT)[/tex] è [tex]rect(\frac{t}{T})[/tex]
Nelle soluzioni è svolto come segue.
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty}N_{0}A^2T^2sinc^2(fT)rect(\frac{f}{T})df[/tex]
[size=75]PASSO 1[/size] [tex]A^2N_{0}\int_{-\infty}^{+\infty}T^2sinc^2(fT)df[/tex]
[size=75]PASSO 2[/size] [tex]A^2N_{0}\int_{-\infty}^{+\infty}[Tsinc(fT)]^2df[/tex]
[size=75]PASSO 3[/size] [tex]A^2N_{0}\int_{-\infty}^{+\infty}[rect(\frac{t}{T})]^2dt[/tex]
Intuisco che fare l'antitrasformata della funzione [tex]Tsinc(fT)[/tex] avvenuta fra il secondo ed il terzo passaggio sia utile visto che fare l'integrale di una sinc è molto più complesso che fare l'integrale di una rect (si tratta banalmente dell'area di un rettangolo).
Quello che non capisco è se questa operazione sia lecita. È cioè possibile disinteressarsi della variabile di integrazione ed effettuare l'operazione di anti-trasformata di Fourier all'interno dell'integrale in quel modo?
Inoltre, accade la seguente cosa già al primo passaggio. La funzione [tex]rect(\frac{f}{T})[/tex] viene proprio ignorata.
Questo di solito accade poiché integrare un rect che moltiplica un'altra funzione significa integrare quest'ultima funzione fra gli estremi della rect che si va a togliere. In questo caso però gli estremi non vengono modificati! Anche perché se lo fossero: come bisognerebbe poi agire di fronte al cambiamento di variabile che avviene sul passaggio dal PASSO 2 al PASSO 3?
Ringrazio chiunque abbia tempo e voglia di aiutarmi a sbrogliare questi dubbi.
Antonio
L'integrale è il seguente: [tex]\int_{-\infty}^{+\infty}N_{0}A^2T^2sinc^2(fT)rect(\frac{f}{T})df[/tex]
Tenendo conto che la antitrasformata di fourier di [tex]Tsinc(fT)[/tex] è [tex]rect(\frac{t}{T})[/tex]
Nelle soluzioni è svolto come segue.
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty}N_{0}A^2T^2sinc^2(fT)rect(\frac{f}{T})df[/tex]
[size=75]PASSO 1[/size] [tex]A^2N_{0}\int_{-\infty}^{+\infty}T^2sinc^2(fT)df[/tex]
[size=75]PASSO 2[/size] [tex]A^2N_{0}\int_{-\infty}^{+\infty}[Tsinc(fT)]^2df[/tex]
[size=75]PASSO 3[/size] [tex]A^2N_{0}\int_{-\infty}^{+\infty}[rect(\frac{t}{T})]^2dt[/tex]
Intuisco che fare l'antitrasformata della funzione [tex]Tsinc(fT)[/tex] avvenuta fra il secondo ed il terzo passaggio sia utile visto che fare l'integrale di una sinc è molto più complesso che fare l'integrale di una rect (si tratta banalmente dell'area di un rettangolo).
Quello che non capisco è se questa operazione sia lecita. È cioè possibile disinteressarsi della variabile di integrazione ed effettuare l'operazione di anti-trasformata di Fourier all'interno dell'integrale in quel modo?
Inoltre, accade la seguente cosa già al primo passaggio. La funzione [tex]rect(\frac{f}{T})[/tex] viene proprio ignorata.
Questo di solito accade poiché integrare un rect che moltiplica un'altra funzione significa integrare quest'ultima funzione fra gli estremi della rect che si va a togliere. In questo caso però gli estremi non vengono modificati! Anche perché se lo fossero: come bisognerebbe poi agire di fronte al cambiamento di variabile che avviene sul passaggio dal PASSO 2 al PASSO 3?
Ringrazio chiunque abbia tempo e voglia di aiutarmi a sbrogliare questi dubbi.
Antonio
Risposte
"policleto":
Ciao, verificando lo svolgimento di un esercizio che richiede il calcolo di un integrale, mi sono imbattuto in una semplificazione che mi appare poco lecita forse perché non la capisco a fondo.
L'integrale è il seguente: [tex]\int_{-\infty}^{+\infty}N_{0}A^2T^2sinc^2(fT)rect(\frac{f}{T})df[/tex]
Tenendo conto che la antitrasformata di fourier di [tex]Tsinc(fT)[/tex] è [tex]rect(\frac{f}{T})[/tex]
Nelle soluzioni è svolto come segue.
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty}N_{0}A^2T^2sinc^2(fT)rect(\frac{f}{T})df[/tex]
[size=75]PASSO 1[/size] [tex]A^2N_{0}\int_{-\infty}^{+\infty}T^2sinc^2(fT)df[/tex]
[size=75]PASSO 2[/size] [tex]A^2N_{0}\int_{-\infty}^{+\infty}[Tsinc(fT)]^2df[/tex]
[size=75]PASSO 3[/size] [tex]A^2N_{0}\int_{-\infty}^{+\infty}[rect(\frac{t}{T})]^2dt[/tex]
Intuisco che fare l'antitrasformata della funzione [tex]Tsinc(fT)[/tex] avvenuta fra il secondo ed il terzo passaggio sia utile visto che fare l'integrale di una sinc è molto più complesso che fare l'integrale di una rect (si tratta banalmente dell'area di un rettangolo).
Quello che non capisco è se questa operazione sia lecita. È cioè possibile disinteressarsi della variabile di integrazione ed effettuare l'operazione di anti-trasformata di Fourier all'interno dell'integrale in quel modo?
Inoltre, accade la seguente cosa già al primo passaggio. La funzione [tex]rect(\frac{f}{T})[/tex] viene proprio ignorata.
Questo di solito accade poiché integrare un rect che moltiplica un'altra funzione significa integrare quest'ultima funzione fra gli estremi della rect che si va a togliere. In questo caso però gli estremi non vengono modificati! Anche perché se lo fossero: come bisognerebbe poi agire di fronte al cambiamento di variabile che avviene sul passaggio dal PASSO 2 al PASSO 3?
Ringrazio chiunque abbia tempo e voglia di aiutarmi a sbrogliare questi dubbi.
Antonio
io non credo sia lecito perché non è vero che [tex]Tsinc(fT)[/tex] = [tex]rect(\frac{f}{T})[/tex] ma in generale è vero che $ int_(-oo)^(+oo) sinc(t)*e^(-2(3.14)ift)dt=rect(f) $ cioè la trasformata di fourier della funzione sinc normalizzata è la rect (ho messo 3.14 perche non trovato il simbolo pi greco) mentre nelle tue uguaglianza nel risolvere un integrale le funzioni sono semplicemente scambiata cosa che più che non essere valida non è proprio vera!
Intendevo dire che la antitrasformata di fourier di [tex]Tsinc(fT)[/tex] è [tex]rect(\frac{t}{T})[/tex] e non [tex]rect(\frac{f}{T})[/tex].
Ho corretto il testo. Scusate.
L'eguaglianza degli integrali nel tempo e in frequenza avviene in virtù del Teorema di Parseval secondo cui il calcolo della potenza può avvenire in frequenza e nel tempo col medesimo risultato.
Il mio dubbio non è sulla validità di questo procedimento, che è fuori discussione, grazie al teorema suddetto.
La questione verte più sul modo di raggiungere questo risultato e cioè cambiando brutalmente la funzione ignorando inoltre gli estremi di integrazione.
Forse non sto capendo cosa vuoi dirmi? Rileggo attentamente, se vuoi chiarire ulteriormente sarò contento di approfondire.
Intanto ti ringrazio per avermi risposto.
Ho corretto il testo. Scusate.
L'eguaglianza degli integrali nel tempo e in frequenza avviene in virtù del Teorema di Parseval secondo cui il calcolo della potenza può avvenire in frequenza e nel tempo col medesimo risultato.
Il mio dubbio non è sulla validità di questo procedimento, che è fuori discussione, grazie al teorema suddetto.
La questione verte più sul modo di raggiungere questo risultato e cioè cambiando brutalmente la funzione ignorando inoltre gli estremi di integrazione.
Forse non sto capendo cosa vuoi dirmi? Rileggo attentamente, se vuoi chiarire ulteriormente sarò contento di approfondire.
Intanto ti ringrazio per avermi risposto.
Dal passo 2 al passo 3, sembra sia stata applicata la relazione di Parseval, l'approssimazione sta nel considerare l'energia del segnale praticamente tutta nel lobo centrale della densità spettrale di potenza, o meglio, rispetto alla catena, dire che l'energia nell'insieme delle frequenze $[-T/2, T/2]$ è circa tutta l'energia del segnale.
[asvg]stroke="red";
ymin = 0;
ymax=1.2;
xmin=-10;
xmax=10;
axes();
plot("(sin(pi*x)/(pi*x))^2");[/asvg]
Si tratta appunto di una approssimazione, numericamente parlando l'area sottesa a $sinc^2(t)$ in $[-1,1]$ è circa il 90% di quella totale, il calcolo analitico però non è certo facile.
[asvg]stroke="red";
ymin = 0;
ymax=1.2;
xmin=-10;
xmax=10;
axes();
plot("(sin(pi*x)/(pi*x))^2");[/asvg]
Si tratta appunto di una approssimazione, numericamente parlando l'area sottesa a $sinc^2(t)$ in $[-1,1]$ è circa il 90% di quella totale, il calcolo analitico però non è certo facile.
In effetti, mi pare che la tua considerazione chiarisca i motivi che portano al risultato.
Tuttavia, non so se si è notato, un po' prima... al [size=75]PASSO 1[/size] scompare una [tex]rect(\frac{f}{T})[/tex] che non so (nella sua scomparsa) che contributo apporti alla soluzione.
Sembra sparire solo per comodità.
Il che mi pare davvero poco lineare.
Grazie ancora per l'aiuto.
Tuttavia, non so se si è notato, un po' prima... al [size=75]PASSO 1[/size] scompare una [tex]rect(\frac{f}{T})[/tex] che non so (nella sua scomparsa) che contributo apporti alla soluzione.
Sembra sparire solo per comodità.
Il che mi pare davvero poco lineare.
Grazie ancora per l'aiuto.
Non sapendo il contesto non saprei, però considera che così si sta sovrastimando l'energia di un segnale, ad esempio filtrato da un passabasso, dunque può risultare ragionevole come sovrastima dell'energia e magari è una visione conservativa della problematica considerata.
Una sorta di compromesso che alla peggio non danneggia il sistema...
Vi ringrazio. Le risposte mi sono state d'aiuto ad inquadrare un po' meglio questa traccia.
Antonio
Vi ringrazio. Le risposte mi sono state d'aiuto ad inquadrare un po' meglio questa traccia.
Antonio
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo