Integrale e tecniche di integrazione
Su una traccia di un compito ho trovato il seguente esercizio:
Valutare il seguente integrale, specificando se si tratta di integrale definito, indefinito, improprio:
$int_(1)^(3) dx/(x(log^2x-1))$
Io procedo in questo modo:
Per prima cosa mi calcolo il dominio della funzione, trovando che essa è definita per $x > 0, x!=e$
Quindi nella fattispecie è definita in $[1,3] \\ {e}$, pertanto si tratta di un integrale improprio e risulta:
$int_(1)^(3) dx/(x(log^2x-1)) = int_(1)^(e) dx/(x(log^2x-1)) + int_(e)^(3) dx/(x(log^2x-1))$
Adesso il problema è che devo trovare una primitiva di $1/(x(log^2x-1))$... ma in realtà non so proprio come procedere... quale criterio mi conviene applicare qui? e per quale ragione?
Valutare il seguente integrale, specificando se si tratta di integrale definito, indefinito, improprio:
$int_(1)^(3) dx/(x(log^2x-1))$
Io procedo in questo modo:
Per prima cosa mi calcolo il dominio della funzione, trovando che essa è definita per $x > 0, x!=e$
Quindi nella fattispecie è definita in $[1,3] \\ {e}$, pertanto si tratta di un integrale improprio e risulta:
$int_(1)^(3) dx/(x(log^2x-1)) = int_(1)^(e) dx/(x(log^2x-1)) + int_(e)^(3) dx/(x(log^2x-1))$
Adesso il problema è che devo trovare una primitiva di $1/(x(log^2x-1))$... ma in realtà non so proprio come procedere... quale criterio mi conviene applicare qui? e per quale ragione?
Risposte
Ti consiglio per prima cosa di verificare se l'integrale converge o diverge
"strangolatoremancino":
Ti consiglio per prima cosa di verificare se l'integrale converge o diverge
Mmmm giuuuusto, mica ci avevo pensato :\
Quindi uso il criterio degli infiniti (o degli infinitesimi)?
Ora provo.
EDIT: Allora praticamente utilizzando il criterio degli infiniti, vedo che l'integrale converge in quanto $lim_(x->+oo) x^2 f(x) = 0$
A questo punto rileggendo la traccia noto che chiede solo di valutarne il comportamento, non di risolvere l'integrale né di trovarne qualche approssimazione... quindi direi che l'esercizio è svolto
A dire il vero a me risultava divergente. Prova a postare il tuo ragionamento per intero
Ok, allora:
- per prima cosa ho testato la divergenza:
se $lim_(x->+oo) xf(x) > 0$, allora l'integrale diverge
Ma $lim_(x->+oo) xf(x) = lim_(x->+oo) 1/(log^2x-1) = 0$
- quindi ho provato la convergenza:
se $lim_(x->+oo) x^\alpha f(x) < +oo, \alpha > 1$, allora l'integrale converge
con $\alpha = 2$, se $lim_(x->+oo) x^2f(x) = lim_(x->+oo) x/(log^2x-1) = +oo$
....
....
.... ok, mi sono accorto di aver fatto confusione tra ordini di infiniti e ordini di infinitesimi.
In effetti, $AA \alpha > 1$ si ha che il limite diverge.
Ma quindi quali conclusioni traggo? Con il criterio degli infiniti non posso stabilire né la convergenza né la divergenza... però, se invece provassi con il metodo degli infinitesimi... vediamo un po':
$lim_(x->0) x/(log^2x-1) = 0$
beh, in questo caso, ponendo $\alpha = 2$ trovo che $lim_(x->0) x^\alpha f(x) < +oo$, quindi posso comunque dire che l'integrale converge no?
EDIT: sto rileggendo le slide in questo momento e mi pare di capire che non si possano usare arbitrariamente entrambi i criteri... quale devo utilizzare?
- per prima cosa ho testato la divergenza:
se $lim_(x->+oo) xf(x) > 0$, allora l'integrale diverge
Ma $lim_(x->+oo) xf(x) = lim_(x->+oo) 1/(log^2x-1) = 0$
- quindi ho provato la convergenza:
se $lim_(x->+oo) x^\alpha f(x) < +oo, \alpha > 1$, allora l'integrale converge
con $\alpha = 2$, se $lim_(x->+oo) x^2f(x) = lim_(x->+oo) x/(log^2x-1) = +oo$
....
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.... ok, mi sono accorto di aver fatto confusione tra ordini di infiniti e ordini di infinitesimi.
In effetti, $AA \alpha > 1$ si ha che il limite diverge.
Ma quindi quali conclusioni traggo? Con il criterio degli infiniti non posso stabilire né la convergenza né la divergenza... però, se invece provassi con il metodo degli infinitesimi... vediamo un po':
$lim_(x->0) x/(log^2x-1) = 0$
beh, in questo caso, ponendo $\alpha = 2$ trovo che $lim_(x->0) x^\alpha f(x) < +oo$, quindi posso comunque dire che l'integrale converge no?
EDIT: sto rileggendo le slide in questo momento e mi pare di capire che non si possano usare arbitrariamente entrambi i criteri... quale devo utilizzare?
Mi perdonerai ma non ti sto seguendo molto, mi pare una qualche applicazione di un criterio del confronto asintotico (stai studiando limiti del rapporto della tua funzione e di un altra di cui conosci il comportamento), ma non capisco, oltre al resto, perchè mandi la $x$ a infinito o a zero quando il nostro problema è il punto $x=e$
D'altro canto potrei stare prendendo una cantonata e facendoti perdere tempo, se vuoi posso scriverti il mio procedimento
D'altro canto potrei stare prendendo una cantonata e facendoti perdere tempo, se vuoi posso scriverti il mio procedimento
"strangolatoremancino":
D'altro canto potrei stare prendendo una cantonata e facendoti perdere tempo, se vuoi posso scriverti il mio procedimento
Te ne sarei grato, tantopiù che ho solo perso tempo nell'applicare quei due criteri da me citati in quanto si possono applicare solo per stabilire il comportamento degli integrali impropri di funzioni positive definite rispettivamente negli intervalli $[a,+oo)$ e $(0,a]$.
$int_(1)^(3) dx/(x(log^2x-1)) = int_(1)^(e) dx/(x(log^2x-1)) + int_(e)^(3) dx/(x(log^2x-1))$
vediamo come si comporta la funzione quando $x->e$: per prima cosa
$1/(x(log^2x-1))=1/(x(logx+1)(logx-1))$
inoltre quando $x->e$, i due fattori $x(logx+1)$ tendono a $2e$
possiamo anche scrivere il terzo fattore in questo modo $(logx-1)=(logx-loge)=log(x/e)$
da queste osservazioni scriviamo la relazione di asintotico
$1/(x(log^2x-1)) sim 1/(2e) * 1/log(x/e)$
la funzione $1/logy$ non è integrabile in un intorno di $1$, e quindi non lo è neanche la nostra funzione di partenza in un intorno di $e$.
Ti quadra?
vediamo come si comporta la funzione quando $x->e$: per prima cosa
$1/(x(log^2x-1))=1/(x(logx+1)(logx-1))$
inoltre quando $x->e$, i due fattori $x(logx+1)$ tendono a $2e$
possiamo anche scrivere il terzo fattore in questo modo $(logx-1)=(logx-loge)=log(x/e)$
da queste osservazioni scriviamo la relazione di asintotico
$1/(x(log^2x-1)) sim 1/(2e) * 1/log(x/e)$
la funzione $1/logy$ non è integrabile in un intorno di $1$, e quindi non lo è neanche la nostra funzione di partenza in un intorno di $e$.
Ti quadra?
"strangolatoremancino":
Ti quadra?
Mmm... in realtà non del tutto.
In definitiva qual è la ragione per cui la funzione non è integrabile in un intorno di $e$? Il fatto che non esista il limite?
Infatti per $x->e^-$, $f(x) -> -oo$ e per $x->e^+$, $f(x) -> +oo$
E se invece fosse esistito il limite, quali conclusioni avrei potuto trarre?
Non è integrabile perchè è asintotica a una funzione non integrabile.
Il valore del limite ti aiuta o se è finito in un intorno di un punto (cio se per $x->a, |a| <+oo$ si ha $f(x)->b, |b|<+oo$), allora è sicuramente integrabile in un intorno del punto, o se la funzione tende a infinito quando x tende a infinito, e allora non è sicuramente integrabile in un intorno di infinito.
Se invece la funzione in un intorno di un punto è illimitata (come in questo caso), o tende a zero per x che tende a infinito, bisogna analizzare in dettaglio come la funzione si comporta, applicando opportuni criteri del confronto
Il valore del limite ti aiuta o se è finito in un intorno di un punto (cio se per $x->a, |a| <+oo$ si ha $f(x)->b, |b|<+oo$), allora è sicuramente integrabile in un intorno del punto, o se la funzione tende a infinito quando x tende a infinito, e allora non è sicuramente integrabile in un intorno di infinito.
Se invece la funzione in un intorno di un punto è illimitata (come in questo caso), o tende a zero per x che tende a infinito, bisogna analizzare in dettaglio come la funzione si comporta, applicando opportuni criteri del confronto
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