Integrale e serie numeriche
[tex]\sum_{n \to 1 }^{+\infty}\frac{1}{n-\sqrt{n^2+2n}}[/tex]
Ho scritto il termine generale, sempre se non ho fatto errori come:
[tex]\frac{1}{n-n\sqrt{1+\frac{2}{n}}}[/tex]
E il limite mi sembra che faccia infinito, dunque la serie dovrebbe divergere perchè non verifica la C.N. alla convergenza delle serie.
[tex]\sum_{n \to 1 }^{+\infty}(-1)^n\frac{n}{n^3+2n+3\sin(n)}[/tex]
Ho pensato di studiare l'assoluta convergenza e:
[tex]|\frac{n}{n^3+2n+3\sin(n)}|\leq |\frac{n}{n^3}|=|\frac{1}{n^2}|[/tex]
Dovrebe essere assolutamente convergente, quindi convergente.
Poi ho:
[tex]\int\frac{1}{e^{2x}+1}dx[/tex]
Ho pensato di sostituire [tex]e^{2x}=t[/tex]
[tex]\int\frac{1}{2t(t+1)}dt[/tex]
Come risultato ottengo:
[tex]\frac{\log(2e^{2x})}{2}-\frac{\log(e^{2x}+1)}{2}+c[/tex]
Ho scritto il termine generale, sempre se non ho fatto errori come:
[tex]\frac{1}{n-n\sqrt{1+\frac{2}{n}}}[/tex]
E il limite mi sembra che faccia infinito, dunque la serie dovrebbe divergere perchè non verifica la C.N. alla convergenza delle serie.
[tex]\sum_{n \to 1 }^{+\infty}(-1)^n\frac{n}{n^3+2n+3\sin(n)}[/tex]
Ho pensato di studiare l'assoluta convergenza e:
[tex]|\frac{n}{n^3+2n+3\sin(n)}|\leq |\frac{n}{n^3}|=|\frac{1}{n^2}|[/tex]
Dovrebe essere assolutamente convergente, quindi convergente.
Poi ho:
[tex]\int\frac{1}{e^{2x}+1}dx[/tex]
Ho pensato di sostituire [tex]e^{2x}=t[/tex]
[tex]\int\frac{1}{2t(t+1)}dt[/tex]
Come risultato ottengo:
[tex]\frac{\log(2e^{2x})}{2}-\frac{\log(e^{2x}+1)}{2}+c[/tex]
Risposte
A me sembra che il limite faccia [tex]-1[/tex]...
[tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n-\sqrt{n^2+2n}} = \lim_{n\to+\infty}\frac{n+\sqrt{n^2+2n}}{n^2-n^2-2n} = \lim_{n\to+\infty}-\frac{1+\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{2} = -1[/tex]
Comunque non è verificato neppure in questo caso il criterio necessario di convergenza, quindi la serie diverge...
[tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n-\sqrt{n^2+2n}} = \lim_{n\to+\infty}\frac{n+\sqrt{n^2+2n}}{n^2-n^2-2n} = \lim_{n\to+\infty}-\frac{1+\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{2} = -1[/tex]
Comunque non è verificato neppure in questo caso il criterio necessario di convergenza, quindi la serie diverge...
Mh, e quanto all'altra serie e all'integrale?
P.S. nel limite che hai calcolato, come hai fatto a far scomparire la prima n al numeratore mettendo 1?
Io sono arrivato a [tex]\frac{n+\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{-2}[/tex]
P.S. nel limite che hai calcolato, come hai fatto a far scomparire la prima n al numeratore mettendo 1?
Io sono arrivato a [tex]\frac{n+\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{-2}[/tex]
Ho raccolto [tex]n^2[/tex] dentro la radice. Ti devi essere mangiato un [tex]n[/tex] mentre lo portavi fuori dalla radice...
Per quanto riguarda la seconda serie, il risultato a cui arrivi è corretto, e anche il modo in cui lo ottieni (più semplicemente, potevi applicare il criterio del confronto asintotico, o dell'ordine di infinitesimo, che si vedeva ad occhio senza bisogno di calcoli).
Infine, nell'integrale c'è un fattore 2 che non mi torna...
La sostituzione è corretta; ora, scomponendo in fratti semplici (e omettendo i passaggi standard):
[tex]\displaystyle \frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}[/tex]
da cui
[tex]\displaystyle \int \frac{1}{2t(t+1)}dt = \frac{1}{2}\cdot\left(\int\frac{1}{t}dt - \int \frac{1}{1+t}dt\right) = \frac{1}{2}\cdot\left(\ln(t) - \ln(1+t) + c\right)[/tex]
da cui
[tex]\displaystyle \int \frac{1}{e^{2x}+1}dx = \frac{1}{2}\cdot \ln(e^{2x}) - \frac{1}{2}\ln(1+e^{2x}) + c' = x - \frac{1}{2}\ln(1+e^{2x}) + c'[/tex]
(dove ovviamente [tex]c' = \frac{c}{2}[/tex])
Per quanto riguarda la seconda serie, il risultato a cui arrivi è corretto, e anche il modo in cui lo ottieni (più semplicemente, potevi applicare il criterio del confronto asintotico, o dell'ordine di infinitesimo, che si vedeva ad occhio senza bisogno di calcoli).
Infine, nell'integrale c'è un fattore 2 che non mi torna...
La sostituzione è corretta; ora, scomponendo in fratti semplici (e omettendo i passaggi standard):
[tex]\displaystyle \frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}[/tex]
da cui
[tex]\displaystyle \int \frac{1}{2t(t+1)}dt = \frac{1}{2}\cdot\left(\int\frac{1}{t}dt - \int \frac{1}{1+t}dt\right) = \frac{1}{2}\cdot\left(\ln(t) - \ln(1+t) + c\right)[/tex]
da cui
[tex]\displaystyle \int \frac{1}{e^{2x}+1}dx = \frac{1}{2}\cdot \ln(e^{2x}) - \frac{1}{2}\ln(1+e^{2x}) + c' = x - \frac{1}{2}\ln(1+e^{2x}) + c'[/tex]
(dove ovviamente [tex]c' = \frac{c}{2}[/tex])
Ho raccolto [tex]n^2[/tex] dentro la radice. Ti devi essere mangiato un mentre lo portavi fuori dalla radice...
Allora io ho:
[tex]\frac{n+n\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{-2n}[/tex]
Una n si semplifica con il denominatore, all'altra non so che fine le fai fare...
"Darèios89":
Una n si semplifica con il denominatore, all'altra non so che fine le fai fare...
???
[tex]\displaystyle \frac{n+n\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{-2n} = \frac{n\left(1+\sqrt{1+\frac{2}{n}}\right)}{-2n}=\frac{1+\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{-2}[/tex]
Ah si giusto, non avevo messo in evidenza....
Invece nell'integrale non capisco perchè in fratti semplici non ti viene:
[tex]\frac{1}{2t(t+1)}[/tex]
Abbiamo sostituito [tex]e^{2x}=t[/tex] Dunque [tex]x=\frac{\log(t)}{2}[/tex] e [tex]dx=\frac{1}{2t}[/tex]
Invece nell'integrale non capisco perchè in fratti semplici non ti viene:
[tex]\frac{1}{2t(t+1)}[/tex]
Abbiamo sostituito [tex]e^{2x}=t[/tex] Dunque [tex]x=\frac{\log(t)}{2}[/tex] e [tex]dx=\frac{1}{2t}[/tex]
Se riguardi i conti che ho fatto sopra, vedrai che non mi sono dimenticato il fattore [tex]\frac{1}{2}[/tex]. Però, l'ho omesso nel calcolare i fratti semplici, per non portarmi dietro inutili appesantimenti. Se però ti fa piacere
[tex]\displaystyle \frac{1}{2t(t+1)} = \frac{1}{2t} - \frac{1}{2(t+1)}[/tex]
e questo non ha conseguenze sui passaggi successivi, come puoi facilmente controllare.
[tex]\displaystyle \frac{1}{2t(t+1)} = \frac{1}{2t} - \frac{1}{2(t+1)}[/tex]
e questo non ha conseguenze sui passaggi successivi, come puoi facilmente controllare.
Si adesso è riuscito anche a me, grazie tante 
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