Integrale e residui
non riesco a risolvere questo integrale
avete un'idea?
ecco il testo dell'esercizio
$\int_{- \infty}^{\infty} (x)/((x^3-i)(x^2+1)) dx$
il risultato dell'integrale viene $\pi /6$
ho isolato le singolarità
preso quelle che si trovano nel semipiano Im(z)>0
e poi ho applicato la formula dei residui * $2 \pi i$
avete un'idea?
ecco il testo dell'esercizio
$\int_{- \infty}^{\infty} (x)/((x^3-i)(x^2+1)) dx$
il risultato dell'integrale viene $\pi /6$
ho isolato le singolarità
preso quelle che si trovano nel semipiano Im(z)>0
e poi ho applicato la formula dei residui * $2 \pi i$
Risposte
Beh, è l'integrale di una funzione razionale, quindi è semplice.
Innanzitutto, notiamo che l'integrale è assolutamente convergente, perchè l'integrando è continuo in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ed è un infinitesimo d'ordine [tex]$4>1$[/tex] in [tex]$\pm \infty$[/tex].
La funzione ausiliaria è:
[tex]$f(z):=\frac{z}{(z^3-\imath)(z^2+1)}$[/tex]
ed essa ha quattro poli, uno doppio e gli altri semplici, nelle tre radici cubiche distinte di [tex]$\imath$[/tex] (provenienti dall'annullamento del primo fattore del denominatore) e nelle due radici quadrate di [tex]$-1$[/tex] (ossia [tex]$\pm \imath$[/tex], provenienti dall'annullamento del secondo fattore), il polo doppio essendo [tex]$-\imath$[/tex]. Inoltre, il punto all'infinito è un punto di regolarità ed, in particolare, uno zero del quarto ordine (infatti [tex]$f(z)$[/tex] è olomorfa intorno a [tex]$\infty$[/tex] ed ha [tex]$\lim_{z\to \infty} f(z)=0$[/tex] e [tex]$\lim_{z\to \infty} z^4f(z)=1$[/tex]).
L'integrale si può calcolare usando il primo teorema dei residui e uno dei lemmi di Jordan (quello dell'arco grande).
In particolare, fissato [tex]$R>0$[/tex] sufficientemente largo e considerato il circuito d'integrazione che coincide con la frontiera del semicerchio con centro in [tex]$0$[/tex], raggio [tex]$R$[/tex] e diametro sull'asse reale, si ha:
(*) [tex]$\int_{-R}^R f(x)\ \text{d} x +\int_{+\Gamma(R)} f(z)\ \text{d} z=2\pi\imath \{ \text{Res} (f(z);\imath)+\text{Res} (f(z);z_0)+\text{Res} (f(z);z_1)\}$[/tex],
ove [tex]$z_0,z_1$[/tex] sono le due radici terze di [tex]$\imath$[/tex] diverse da [tex]$-\imath$[/tex]; il lemma di Jordan importa che:
[tex]$\lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma(R)} f(z)\ \text{d} z =\pi \imath \lim_{|z|\to +\infty} f(z)=0$[/tex],
quindi passando al limite (*) si trova:
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x =2\pi\imath \{ \text{Res} (f(z);\imath)+\text{Res} (f(z);z_0)+\text{Res} (f(z);z_1)\}$[/tex].
Il calcolo dei residui è semplicissimo.
Innanzitutto, notiamo che l'integrale è assolutamente convergente, perchè l'integrando è continuo in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ed è un infinitesimo d'ordine [tex]$4>1$[/tex] in [tex]$\pm \infty$[/tex].
La funzione ausiliaria è:
[tex]$f(z):=\frac{z}{(z^3-\imath)(z^2+1)}$[/tex]
ed essa ha quattro poli, uno doppio e gli altri semplici, nelle tre radici cubiche distinte di [tex]$\imath$[/tex] (provenienti dall'annullamento del primo fattore del denominatore) e nelle due radici quadrate di [tex]$-1$[/tex] (ossia [tex]$\pm \imath$[/tex], provenienti dall'annullamento del secondo fattore), il polo doppio essendo [tex]$-\imath$[/tex]. Inoltre, il punto all'infinito è un punto di regolarità ed, in particolare, uno zero del quarto ordine (infatti [tex]$f(z)$[/tex] è olomorfa intorno a [tex]$\infty$[/tex] ed ha [tex]$\lim_{z\to \infty} f(z)=0$[/tex] e [tex]$\lim_{z\to \infty} z^4f(z)=1$[/tex]).
L'integrale si può calcolare usando il primo teorema dei residui e uno dei lemmi di Jordan (quello dell'arco grande).
In particolare, fissato [tex]$R>0$[/tex] sufficientemente largo e considerato il circuito d'integrazione che coincide con la frontiera del semicerchio con centro in [tex]$0$[/tex], raggio [tex]$R$[/tex] e diametro sull'asse reale, si ha:
(*) [tex]$\int_{-R}^R f(x)\ \text{d} x +\int_{+\Gamma(R)} f(z)\ \text{d} z=2\pi\imath \{ \text{Res} (f(z);\imath)+\text{Res} (f(z);z_0)+\text{Res} (f(z);z_1)\}$[/tex],
ove [tex]$z_0,z_1$[/tex] sono le due radici terze di [tex]$\imath$[/tex] diverse da [tex]$-\imath$[/tex]; il lemma di Jordan importa che:
[tex]$\lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma(R)} f(z)\ \text{d} z =\pi \imath \lim_{|z|\to +\infty} f(z)=0$[/tex],
quindi passando al limite (*) si trova:
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x =2\pi\imath \{ \text{Res} (f(z);\imath)+\text{Res} (f(z);z_0)+\text{Res} (f(z);z_1)\}$[/tex].
Il calcolo dei residui è semplicissimo.
ma se io scompongo entrambi i polinomi del denominatore
non diventano tutte radici di primo ordine?
solo $+i$è di ordine 2 perchè compare due volte
non diventano tutte radici di primo ordine?
solo $+i$è di ordine 2 perchè compare due volte
Guarda che [tex]$\imath$[/tex] annulla solamente del fattore [tex]$z^2+1$[/tex] (perchè [tex]$z^3-\imath\Big|_{z=\imath}=\imath^3-\imath=-2\imath\neq 0$[/tex]), quindi è un polo semplice.
guarda ora provo a risolverlo e nel pomeriggio ti faccio sapere
si ma le singolarità sono
$z=e^(i \pi /6)$
e
$z=e^(i 5/6 \pi)$
entrambe di ordine 3
quindi facendo la derivata seconda il calcolo è impossibile
sto sbagliando qualcosa?
$z=e^(i \pi /6)$
e
$z=e^(i 5/6 \pi)$
entrambe di ordine 3
quindi facendo la derivata seconda il calcolo è impossibile
sto sbagliando qualcosa?
non ricordo come si scompone
$z^3 - i$
$z^3 - i$
le singolarità diventano tutte di ordine 1 ho capito
ma quando vado a scomporre
$z^3 - i$
mi fermo
cioè più precisamente mi fermo quando vado a fare il residuo poichè non riesco a isolare la singolarità
[xdom="gugo82"]Già eri stato richiamato per eccesso di "up" qui.
Per favore, astieniti dal ripetere questa storia (ed usa il pulsante Modifica per editare i tuoi post).
Chiudo per 24 ore.
Ed è l'ultima volta che lo faccio: appena upperai altri thread fuori dalle regole, li chiuderò definitivamente.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Riaperto.[/xdom]
ma quando vado a scomporre
$z^3 - i$
mi fermo
cioè più precisamente mi fermo quando vado a fare il residuo poichè non riesco a isolare la singolarità
[xdom="gugo82"]Già eri stato richiamato per eccesso di "up" qui.
Per favore, astieniti dal ripetere questa storia (ed usa il pulsante Modifica per editare i tuoi post).
Chiudo per 24 ore.
Ed è l'ultima volta che lo faccio: appena upperai altri thread fuori dalle regole, li chiuderò definitivamente.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Riaperto.[/xdom]
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