Integrale e residui
Calcolare l'integrale con il teorema dei residui
$int_0^oo (sqrt(x)/(x^2+1) )dx$
ho provato con il lemma del grande cerchio, ma mi sono accorto che quello varrebbe nel caso l integrale fosse tra $-oo$ e $+oo$ .
Il risultato mi viene $pi sqrt(i) $, che è diverso dal $sqrt(2) / 2 pi $ dello svolgimento.
Nello svolgimento che ho, usa anche il lemma del piccolo cerchio, ma fa passaggi che non capisco.
In primis, il calcolo del residuo viene ad entrambi (me e lo svolgimento) $pi sqrt(i) $ , che però riscrive come $ (sqrt(2)/2 + isqrt(2)/2)pi $ e non capisco proprio il perche.
In piu, nel calcolo tra $ -r ed -R$ dell integrale di x pone prima $ x = -y $ e poi ricambia in $y = x$.
Sono un po confuso
Grazie mille anticipatamente.
$int_0^oo (sqrt(x)/(x^2+1) )dx$
ho provato con il lemma del grande cerchio, ma mi sono accorto che quello varrebbe nel caso l integrale fosse tra $-oo$ e $+oo$ .
Il risultato mi viene $pi sqrt(i) $, che è diverso dal $sqrt(2) / 2 pi $ dello svolgimento.
Nello svolgimento che ho, usa anche il lemma del piccolo cerchio, ma fa passaggi che non capisco.
In primis, il calcolo del residuo viene ad entrambi (me e lo svolgimento) $pi sqrt(i) $ , che però riscrive come $ (sqrt(2)/2 + isqrt(2)/2)pi $ e non capisco proprio il perche.
In piu, nel calcolo tra $ -r ed -R$ dell integrale di x pone prima $ x = -y $ e poi ricambia in $y = x$.
Sono un po confuso
Grazie mille anticipatamente.
Risposte
"emitrax":
Calcolare l'integrale con il teorema dei residui
$int_0^oo (sqrt(x)/(x^2+1) )dx$
ho provato con il lemma del grande cerchio, ma mi sono accorto che quello varrebbe nel caso l integrale fosse tra $-oo$ e $+oo$ .
Il risultato mi viene $pi sqrt(i) $, che è diverso dal $sqrt(2) / 2 pi $ dello svolgimento.
Nello svolgimento che ho, usa anche il lemma del piccolo cerchio, ma fa passaggi che non capisco.
In primis, il calcolo del residuo viene ad entrambi (me e lo svolgimento) $pi sqrt(i) $ , che però riscrive come $ (sqrt(2)/2 + isqrt(2)/2)pi $ e non capisco proprio il perche.
In piu, nel calcolo tra $ -r ed -R$ dell integrale di x pone prima $ x = -y $ e poi ricambia in $y = x$.
Sono un po confuso
Grazie mille anticipatamente.
$i=e^(i*pi/2)->sqrt(i)=i^(1/2)=e^(i*pi/4)=cos(pi/4)+i*sin(pi/4)=1/2*sqrt2(1+i)$ sfruttando le formule di eulero.
Grazie. Non ci avevo pensato.
Adesso però devo capire come proseguire. Facendo il limite per r che tende a zero e per R che tende ad infinito ottengo
$ int_-oo^0 (sqrt(x)/(x^2+1)) dx + int_0^oo (sqrt(x)/(x^2+1)) dx = pi i$
come faccio ad eliminare il primo ?
Adesso però devo capire come proseguire. Facendo il limite per r che tende a zero e per R che tende ad infinito ottengo
$ int_-oo^0 (sqrt(x)/(x^2+1)) dx + int_0^oo (sqrt(x)/(x^2+1)) dx = pi i$
come faccio ad eliminare il primo ?
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