Integrale e integrabilità
Buona sera a tutti. Ho una domanda sulla risoluzione di un integrale definito, anche se il problema riguarda la risoluzione dell'indefinito:
$int((sinx(log(5-sinx)))/(cos^2x))dx$
pensavo di svolgere con sostituzione ma non saprei quale.
inoltre ho problemi a determinare il valore di p affinchè la funzione:
$(1+log^(p^2)x)/(xsqrt(log^(5p))+4))$ risulti integrabile in [e,+oo[.
non avrei suggerimenti per quest'ultimo perchè anche nel calcolo dell'integrale improprio trovo difficoltà nè saprei farne confronto con una "funzione campione".vi ringrazio, alex
edit: per il primo integrale effettuo sostituzione in tgx/2.
$int((sinx(log(5-sinx)))/(cos^2x))dx$
pensavo di svolgere con sostituzione ma non saprei quale.
inoltre ho problemi a determinare il valore di p affinchè la funzione:
$(1+log^(p^2)x)/(xsqrt(log^(5p))+4))$ risulti integrabile in [e,+oo[.
non avrei suggerimenti per quest'ultimo perchè anche nel calcolo dell'integrale improprio trovo difficoltà nè saprei farne confronto con una "funzione campione".vi ringrazio, alex
edit: per il primo integrale effettuo sostituzione in tgx/2.
Risposte
Per la seconda funzione, un consiglio "al volo": per $x\to +\infty$ i termini 1 e 4 sono trascurabili(*), quindi considera
$(log\ x)^{p^2}/(x(log\ x)^(5/2 p)$ e scrivitelo come $1/x* (log\ x)^{p^2-5/2p}$. poi vedi un poco... tieni presente che $1/x$ non è integrabile, quindi le $p$ che annullano quel polinomio di secondo grado già le devi escludere (giusto un esempio).
(*) Se non ti è chiaro questo fatto chiedi pure.
$(log\ x)^{p^2}/(x(log\ x)^(5/2 p)$ e scrivitelo come $1/x* (log\ x)^{p^2-5/2p}$. poi vedi un poco... tieni presente che $1/x$ non è integrabile, quindi le $p$ che annullano quel polinomio di secondo grado già le devi escludere (giusto un esempio).
(*) Se non ti è chiaro questo fatto chiedi pure.
"dissonance":
Per la seconda funzione, un consiglio "al volo": per $x\to +\infty$ i termini 1 e 4 sono trascurabili(*), quindi considera
$(log\ x)^{p^2}/(x(log\ x)^(5/2 p)$ e scrivitelo come $1/x* (log\ x)^{p^2-5/2p}$. poi vedi un poco... tieni presente che $1/x$ non è integrabile, quindi le $p$ che annullano quel polinomio di secondo grado già le devi escludere (giusto un esempio).
(*) Se non ti è chiaro questo fatto chiedi pure.
(*) è chiaro. ma una volta che 1/x è non integrabile il resto può essere integrabile? non riesco a seguirti nell'esempio. avevo pensato di procedere tenendo conto degli esponenti, sapendo che affinchè la funzione sia integrabile è necessario che p sia minore di 1 ...
"bad.alex":
ma una volta che 1/x è non integrabile il resto può essere integrabile? ...
Scrivo nel dettaglio il ragionamento che ho seguito prima, non ti voglio confondere:
siamo già arrivati a dire che la funzione di cui vogliamo valutare l'integrabilità è asintoticamente equivalente a $1/x*(log\ x)^(\text{qualcosa})$. Perciò studiamo l'integrabilità di quest'ultima funzione.
Gli strumenti che abbiamo sono sempre gli stessi:
-)il calcolo esplicito;
-)il confronto;
-)il confronto asintotico.
Le funzioni campione "standard" che noi abbiamo sono le $1/(x^alpha)$. Proviamole:
$lim_{x\to+\infty} (1/x*(log\ x)^(\text{qualcosa}))/(1/(x^alpha))=lim_{x\to+\infty} x^(alpha-1)*(log\ x)^(\text{qualcosa})$
da cui ricaviamo che, per $alpha>1$, il limite vale infinito, ovvero la nostra funzione da integrare è "asintoticamente più grande" di una funzione integrabile, e non possiamo concludere nulla;
stesso discorso con $alpha<1$, il limite vale zero, la nostra funzione è "asintoticamente più piccola" di una funzione a integrale divergente: ancora niente;
con $alpha=1$ il limite può essere finito, zero o infinito a seconda di quel $text{qualcosa}$ (lo chiamo $q$).
Se $q=0$ il limite vale $1$: la nostra funzione equivale asintoticamente a $1/x$, perciò il suo integrale diverge;
se $q<0$, o $q>0$ otteniamo $0, +\infty$: l'unica cosa che possiamo concludere è che per $q>0$ il nostro integrale diverge, perché la nostra funzione è "asintoticamente più grande" di $1/x$.
Quindi dobbiamo cercare il nostro $q$ tra i numeri negativi, ovvero per $p\in(0,5/2)$. E questa è la parte difficile perché abbiamo esaurito i campioni "standard". Così a naso, io proverei il calcolo diretto, usando l'integrazione per parti: in fondo, stiamo calcolando
$lim_{x\to+\infty}int_e^x (1/t)*1/((log\ t)^q)\ dt$ e $1/t=(log\ t)'$
Prova un po' (se ti va eh!). Ciao!
la funzione da integrare agli estremi è:
$ -(1/((q-1)(logt^(q-1))))$
soltanto che ora non so come procedere. integrale improprio ma dovrò distinguere i casi di q..
$ -(1/((q-1)(logt^(q-1))))$
soltanto che ora non so come procedere. integrale improprio ma dovrò distinguere i casi di q..
ti sei mangiato un $t$ mi sa...
Io direi: nel tantativo di calcolare direttamente $int_e^{\infty} 1/(t(log\ t)^{q})\ dt$, cerchiamo una primitiva della funzione da integrare.
Cioè proviamo a calcolare $I_q:=int\ 1/(t(log\ t)^{q})\ dt$. Integrando per parti dovremmo ottenere una cosa tipo
$I_q=\text{una funzione}-I_q$... prova un po' (perdonami ma in questo momento non ho il tempo di mettermi a fare i conti).
Forse così si riesce a calcolare una primitiva comunque. E a quel punto è tutta discesa. Fammi sapere! ciao alex!
Io direi: nel tantativo di calcolare direttamente $int_e^{\infty} 1/(t(log\ t)^{q})\ dt$, cerchiamo una primitiva della funzione da integrare.
Cioè proviamo a calcolare $I_q:=int\ 1/(t(log\ t)^{q})\ dt$. Integrando per parti dovremmo ottenere una cosa tipo
$I_q=\text{una funzione}-I_q$... prova un po' (perdonami ma in questo momento non ho il tempo di mettermi a fare i conti).
Forse così si riesce a calcolare una primitiva comunque. E a quel punto è tutta discesa. Fammi sapere! ciao alex!
"dissonance":
ti sei mangiato un $t$ mi sa...
Io direi: nel tantativo di calcolare direttamente $int_e^{\infty} 1/(t(log\ t)^{q})\ dt$, cerchiamo una primitiva della funzione da integrare.
Cioè proviamo a calcolare $I_q:=int\ 1/(t(log\ t)^{q})\ dt$. Integrando per parti dovremmo ottenere una cosa tipo
$I_q=\text{una funzione}-I_q$... prova un po' (perdonami ma in questo momento non ho il tempo di mettermi a fare i conti).
Forse così si riesce a calcolare una primitiva comunque. E a quel punto è tutta discesa. Fammi sapere! ciao alex!
ehm...andando su wikipedia ho trovato lee formule per integrali indefiniti e vi era la risoluzione che ho postato precedentemente. non so se occorre far altro...grazie giuseppe!
"bad.alex":
[quote="dissonance"]ti sei mangiato un $t$ mi sa...
Io direi: nel tantativo di calcolare direttamente $int_e^{\infty} 1/(t(log\ t)^{q})\ dt$, cerchiamo una primitiva della funzione da integrare.
Cioè proviamo a calcolare $I_q:=int\ 1/(t(log\ t)^{q})\ dt$. Integrando per parti dovremmo ottenere una cosa tipo
$I_q=\text{una funzione}-I_q$... prova un po' (perdonami ma in questo momento non ho il tempo di mettermi a fare i conti).
Forse così si riesce a calcolare una primitiva comunque. E a quel punto è tutta discesa. Fammi sapere! ciao alex!
ehm...andando su wikipedia ho trovato lee formule per integrali indefiniti e vi era la risoluzione che ho postato precedentemente. non so se occorre far altro...grazie giuseppe![/quote]
chiedo scusa...avevo già postato l'esercizio pur non venendone a capo di quel p>11.
https://www.matematicamente.it/forum/int ... 30448.html
dissonance...mi spiace di averti fatto perdere tempo. Ho ricontrollato: oggi ho sbagliato l'integrale. poi ho rivisto altri metodi per integrabilità e ho trovato il mio link...mi dispiace di averti rubato del tempo. Per la convergenza occorre che a sia >1 pertanto ...risolvo disequazione p^2-5p-1>0 e trovo soluzione. scusami ancora,
alex
La cosa importante è che tu abbia capito!
[size=75]Anche perché io devo aver commesso qualche errore
...infatti prima ho scritto "sicuramente l'integrale non converge per $p>5/2$" mentre invece vedo che la soluzione è $p>11$ 
[/size]
Spero di non averti confuso troppo. Ad ogni modo mi pare che quello che ho fatto io sia grosso modo la brutta copia del procedimento di fransis nel link che hai postato. E del resto non è che sia una mia invenzione!!! E' un sistema per stabilire la convergenza degli integrali: passi ad una funzione equivalente (come abbiamo fatto prima per esempio, mediante equivalenza asintotica) e vedi se riesci a calcolare in modo esplicito quella. Per questo scopo l'integrazione per parti fa la parte del leone!
Alla prossima!
[size=75]Anche perché io devo aver commesso qualche errore
...infatti prima ho scritto "sicuramente l'integrale non converge per $p>5/2$" mentre invece vedo che la soluzione è $p>11$ [/size]
Spero di non averti confuso troppo. Ad ogni modo mi pare che quello che ho fatto io sia grosso modo la brutta copia del procedimento di fransis nel link che hai postato. E del resto non è che sia una mia invenzione!!! E' un sistema per stabilire la convergenza degli integrali: passi ad una funzione equivalente (come abbiamo fatto prima per esempio, mediante equivalenza asintotica) e vedi se riesci a calcolare in modo esplicito quella. Per questo scopo l'integrazione per parti fa la parte del leone!
Alla prossima!
no...figurati. anzi...mi hai illustrato per bene il percorso generale. spero ragazzi di comunicarvi a breve una lieta notizia...tipo: sono passato in analisi e non vi tedierò di conseguenza;)
grazie ancora giuseppe,
alex
grazie ancora giuseppe,
alex
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