Integrale e fattoriale
Buongiorno a tutti. Mi trovo a dover risolvere il seguente integrale:
$int_0^u (e^(-gamma)*gamma^x)/{x!} * (e^(-gamma)*gamma^{u-x})/{(u-x)!} text{d} x $
Svolgendo banalmente alcuni calcoli giungo a:
$int_0^u (e^(-2gamma)*gamma^u)/{x!(u-x)!} text{d} x $
Il quale può essere riscritto, utilizzando la funzione $Gamma$ di Eulero, come:
$int_0^u (e^(-2gamma)*gamma^u)/{int_0^oo t^x*e^{-t} text{dt} *int_0^oo t^{u-x}*e^{-t} text{dt}} text{d} x $
il quale mi sembra anche più "mostruoso" del precedente. Le questioni sono:
1) non conosco alcune proprietà dei fattoriali;
2) non conosco alcune proprietà degli integrale (con altre funzioni integrali come integrande);
3) non conosco alcune proprietà della funzione $Gamma$;
perché proprio non so come venirne fuori.... Per la cronaca, il risultato è:
${e^{-2 gamma} *(2 gamma)^{u}}/{u!}$
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie in anticipo
$int_0^u (e^(-gamma)*gamma^x)/{x!} * (e^(-gamma)*gamma^{u-x})/{(u-x)!} text{d} x $
Svolgendo banalmente alcuni calcoli giungo a:
$int_0^u (e^(-2gamma)*gamma^u)/{x!(u-x)!} text{d} x $
Il quale può essere riscritto, utilizzando la funzione $Gamma$ di Eulero, come:
$int_0^u (e^(-2gamma)*gamma^u)/{int_0^oo t^x*e^{-t} text{dt} *int_0^oo t^{u-x}*e^{-t} text{dt}} text{d} x $
il quale mi sembra anche più "mostruoso" del precedente. Le questioni sono:
1) non conosco alcune proprietà dei fattoriali;
2) non conosco alcune proprietà degli integrale (con altre funzioni integrali come integrande);
3) non conosco alcune proprietà della funzione $Gamma$;
perché proprio non so come venirne fuori.... Per la cronaca, il risultato è:
${e^{-2 gamma} *(2 gamma)^{u}}/{u!}$
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie in anticipo
Risposte
Innanzitutto, non ha alcun senso scrivere \(x!\) quando \(x\) non è un naturale; perciò bisogna sempre usare la \(\Gamma\) sostituendo all'obrobbrio \(x!\) la notazione corretta \(\Gamma(x+1)\).
Per il resto, portando fuori dall'integrale ciò che non dipende da \(x\), hai da calcolare "solo":
\[
\int_0^u \frac{1}{\Gamma (x+1)\ \Gamma(u-x+1)}\ \text{d} x\; ;
\]
tenendo presente la formula di addzione:
\[
\Gamma (t)\ \Gamma(s)=\Gamma(t+s)\ B(t,s)
\]
ove \(B(t,s)\) è la funzione beta, trovi:
\[
\frac{1}{\Gamma (x+1)\ \Gamma(u-x+1)} = \frac{1}{\Gamma (u+2)\ B(x+1,u-x+1)}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\int_0^u \frac{1}{\Gamma (x+1)\ \Gamma(u-x+1)}\ \text{d} x &= \frac{1}{\Gamma (u+2)}\ \int_0^u \frac{1}{B(x+1,u-x+1)}\ \text{d} x \\
&= \frac{1}{(n+1)\ \Gamma (u+1)}\ \int_0^u \frac{1}{B(x+1,u-x+1)}\ \text{d} x\; \ldots
\end{split}
\]
tuttavia, dato che non figura nessuna costante \(\gamma\) nell'ultimo integrale, direi che i conti non tornano (anche perché l'ultimo integrale non è elementare).
Inoltre... Da dove diavolo viene fuori quell'integrale?
Non è che esso deve essere sostituito da una sommatoria (perché hai a che fare con variabili aleatorie discrete, ad esempio)?
Per il resto, portando fuori dall'integrale ciò che non dipende da \(x\), hai da calcolare "solo":
\[
\int_0^u \frac{1}{\Gamma (x+1)\ \Gamma(u-x+1)}\ \text{d} x\; ;
\]
tenendo presente la formula di addzione:
\[
\Gamma (t)\ \Gamma(s)=\Gamma(t+s)\ B(t,s)
\]
ove \(B(t,s)\) è la funzione beta, trovi:
\[
\frac{1}{\Gamma (x+1)\ \Gamma(u-x+1)} = \frac{1}{\Gamma (u+2)\ B(x+1,u-x+1)}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\int_0^u \frac{1}{\Gamma (x+1)\ \Gamma(u-x+1)}\ \text{d} x &= \frac{1}{\Gamma (u+2)}\ \int_0^u \frac{1}{B(x+1,u-x+1)}\ \text{d} x \\
&= \frac{1}{(n+1)\ \Gamma (u+1)}\ \int_0^u \frac{1}{B(x+1,u-x+1)}\ \text{d} x\; \ldots
\end{split}
\]
tuttavia, dato che non figura nessuna costante \(\gamma\) nell'ultimo integrale, direi che i conti non tornano (anche perché l'ultimo integrale non è elementare).
Inoltre... Da dove diavolo viene fuori quell'integrale?
Non è che esso deve essere sostituito da una sommatoria (perché hai a che fare con variabili aleatorie discrete, ad esempio)?
Grazie mille gugo82! 
Soprattutto per l'esposizione della proprietà che lega la funzione $Gamma$ e la funzione $text{B}$ , che onestamente non mi ricordavo..
grazie per la precisazione, da ora in avanti lo terrò ben presente.
Infatti non capisco da dove possa venir fuori, anche con molta immaginazione, $(2 gamma)^u$
Quest'integrale viene fuori da un articolo di Mandelbrot (molto interessante) "State of randomness from mild to wild, and concentration from the short to the long run... Espressamente l'integrale sarebbe - spero di tradurre bene - doppia convoluzione della funzione di densità di una variabile casuale di Poisson (la quale, tu mi fai giustamente riflettere, è una variabile casuale discreta....)
Soprattutto per l'esposizione della proprietà che lega la funzione $Gamma$ e la funzione $text{B}$ , che onestamente non mi ricordavo.."gugo82":
Innanzitutto, non ha alcun senso scrivere \(x!\) quando \(x\) non è un naturale; perciò bisogna sempre usare la \(\Gamma\) sostituendo all'obrobbrio \(x!\) la notazione corretta \(\Gamma(x+1)\).
grazie per la precisazione, da ora in avanti lo terrò ben presente.
"gugo82":
tuttavia, dato che non figura nessuna costante \(\gamma\) nell'ultimo integrale, direi che i conti non tornano (anche perché l'ultimo integrale non è elementare).
Infatti non capisco da dove possa venir fuori, anche con molta immaginazione, $(2 gamma)^u$
"gugo82":
Inoltre... Da dove diavolo viene fuori quell'integrale?
Non è che esso deve essere sostituito da una sommatoria (perché hai a che fare con variabili aleatorie discrete, ad esempio)?
Quest'integrale viene fuori da un articolo di Mandelbrot (molto interessante) "State of randomness from mild to wild, and concentration from the short to the long run... Espressamente l'integrale sarebbe - spero di tradurre bene - doppia convoluzione della funzione di densità di una variabile casuale di Poisson (la quale, tu mi fai giustamente riflettere, è una variabile casuale discreta....)
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