Integrale e domanda su numeri complessi

[ampoli]

buongiorno a tutti,
vorrei porre due domande, la prima riguarda un integrale improprio, la seconda è una domanda di teoria sui numeri complessi:

1) Per quale motivo $ int_(0)^(1) 1/x dx $ non è integrabile nell'intervallo 0,1 estremi compresi?

La mia idea è stata quella di verificare l'esistenza del limite con c che tende a 0 del suddetto integrale, a meno di aver sbagliato i calcoli mi risulta valere $ +oo $. Ora, il libro afferma che tale funzione non è integrabile nell'intervallo 0,1 estremi compresi, io notando il risultato del limito pervengo alla conclusione che la funzione è integrabile in senso improprio è tale integrale è divergente. Pertanto vi chiedo: La funzione è o non è integrabile in senso improprio, se sì, l'integrale è divergente?

2) Qualcuno potrebbe spiegarmi in maniera chiara cosa si intende per molteplicità (numeri complessi)?

Grazie in anticipo, so che siete molto preparati.
Mi scuso per la prolissità

[Quinzio]

"ampoli":
1) Per quale motivo $ int_(0)^(1) 1/x dx $ non è integrabile nell'intervallo 0,1 estremi compresi?

La funzione $1/x$ non è definita in 0, per cui non ha senso un intervallo di integrazione che comprende lo 0. Ha senso fare il limite a 0, che infatti è ciò che si fa.

[ampoli]

Ti faccio notare che sto parlando di un integrale improprio, io ho inoltre specificato che ho provato a calcolare il limite a 0 come hai scritto tu e mi risulta infinito pertanto la mia domanda è questa: l'integrale diverge o la funzione non è integrabile in senso improprio?
forse ti ho chiarito le idee
Grazie

[ViciousGoblin]

Alla prima domanda la risposta è "dipende dalla definizione" ...
In effetti credo che nella maggioranza dei testi la definizione di "$f$ integrabile in senso improprio" corrisponda all'esistenza del limite FINITO( degli integrali sull'opportuno sottointervallo). Purtroppo se si segue questa strada non
c'è una parola per indicare che il limite esiste (finito o infinito) e - secondo me - questa è una mancanza, ma tant'è ...
Peraltro anche "$f$ derivabile" non corrisponde a dire "esiste il limite del rapporto incrementale" ...

Riguardo alla seconda domanda, molteplicità di cosa ?

[ampoli]

Ti ringrazio molto, per quanto riguarda la molteplicità:
molteplicità della radice di un polinomio con soluzioni complesse, spero di essere stato più chiaroù
Grazie ancora

[ViciousGoblin]

"ampoli":Ti ringrazio molto, per quanto riguarda la molteplicità:
molteplicità della radice di un polinomio con soluzioni complesse, spero di essere stato più chiaroù
Grazie ancora

La molteplicità di $z_0$,come radice di un polinomio $P$, è l'esponente con cui il termine $(z-z_0)$ compare nella
fattorizzazione di $P(z)$. Come saprai se $P(z_0)=0$ allora $P(z)$ è divisibile per $(z-z_0)$ e cioè $P(z)=P_1(z)(z-z_0)$
per un opportuno polinomio $P_1$.
A questo punto se $P_1(z_0)\ne 0$ la molteplicità è $1$, altrimenti rifai lo stesso ragionamento con $P_1$. Alla fine
$P(z)=\bar P(z)(z-z_0)^m$ dove $\bar P(z_0)\ne0$ ed $m\ge 1$ è un intero, che si chiama appunto la molteplicità di $z_0$.

Si può dimostrare abbastanza facilmente che $m$ è caratterizzato dalla proprietà:
$P(z_0)=P'(z_0)=...=P^{(m-1)}(z_0)=0$, ma $P^{(m)}(z_0)\ne 0$.