Integrale e cambio variabile
Ciao
C'è un punto di quanto dice il mio professore che non è chiarissimo, svole un passaggio scrivendo una generica f(x):
$int_(-a)^(+a)f(x)dx$
spezza e cambia variabile x=-t: $int_(-a)^(0)f(x)dx+int_(0)^(+a)f(x)dx=-int_(a)^(0)f(-t)dt+int_(0)^(+a)f(x)dx=int_(0)^(a)f(-t)dt+int_(0)^(+a)f(x)dx$
A questo punto dice che è uguale a $int_(a)^(0)f(-x)dx+int_(0)^(+a)f(x)dx$ e li somma
Quello che mi lascia in dubbio è il chiamare t=x, mi sembra in effetti di capire che essendo un integrale definito (quindi discende dalla funzione integrale con estremo fissato) la "variabile" t è muta poiché la vera variabile sarebbe l'estremo superiore dell'integrale: a.
Però avverto qualcosa che mi sfugge e mi infastidisce nel senso che nella prima sostituzione dice x=-t e non è così muta perché andando a modificare x con -t cambio estremi ecc. Dopo invece posso ritenerla muta e chiamo x,t.
Non capisco quindi perché, cioè quando posso considerarla muta e quando no.
C'è un punto di quanto dice il mio professore che non è chiarissimo, svole un passaggio scrivendo una generica f(x):
$int_(-a)^(+a)f(x)dx$
spezza e cambia variabile x=-t: $int_(-a)^(0)f(x)dx+int_(0)^(+a)f(x)dx=-int_(a)^(0)f(-t)dt+int_(0)^(+a)f(x)dx=int_(0)^(a)f(-t)dt+int_(0)^(+a)f(x)dx$
A questo punto dice che è uguale a $int_(a)^(0)f(-x)dx+int_(0)^(+a)f(x)dx$ e li somma
Quello che mi lascia in dubbio è il chiamare t=x, mi sembra in effetti di capire che essendo un integrale definito (quindi discende dalla funzione integrale con estremo fissato) la "variabile" t è muta poiché la vera variabile sarebbe l'estremo superiore dell'integrale: a.
Però avverto qualcosa che mi sfugge e mi infastidisce nel senso che nella prima sostituzione dice x=-t e non è così muta perché andando a modificare x con -t cambio estremi ecc. Dopo invece posso ritenerla muta e chiamo x,t.
Non capisco quindi perché, cioè quando posso considerarla muta e quando no.
Risposte
Ciao alBABInetto,
Benvenuto sul forum!
La variabile di un integrale la puoi chiamare come ti pare, questo non è un problema...
Ha richiamato con $x$ la variabile di integrazione che aveva chiamato con $t$ e poi ha sommato gli integrali perché probabilmente c'è di mezzo l'ipotesi di parità della funzione $f(x)$, cioè $f(- x) = f(x) $
Se $f$ è una funzione continua su $[-a,a] $ e la funzione $f$ è
$ \text{ pari, allora } \int_{-a}^a f(x) \text{d}x = 2 \int_0^a f(x) \text{d}x $
$ \text{ dispari, allora } \int_{-a}^a f(x) \text{d}x = 0 $
Benvenuto sul forum!
La variabile di un integrale la puoi chiamare come ti pare, questo non è un problema...
Ha richiamato con $x$ la variabile di integrazione che aveva chiamato con $t$ e poi ha sommato gli integrali perché probabilmente c'è di mezzo l'ipotesi di parità della funzione $f(x)$, cioè $f(- x) = f(x) $
Se $f$ è una funzione continua su $[-a,a] $ e la funzione $f$ è
$ \text{ pari, allora } \int_{-a}^a f(x) \text{d}x = 2 \int_0^a f(x) \text{d}x $
$ \text{ dispari, allora } \int_{-a}^a f(x) \text{d}x = 0 $
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