Integrale dubbioso ∫1/cos(2x)
Buondì, sono nuovo del forum, ringrazio chi ha creato il forum e chi collabora nell'aiuto aiutando altri utenti in difficoltà!
Mi sto preparando all'esame di Analisi 1(ing. civile) e tra le cose ho cento integrali consigliati per la preparazione all'esame, fino ad ora ne ho fatti circa 80 e non ho incontrato particolari grattacapi, ma questo integrale mi ha lasciato un po' perplesso non tanto per la difficoltà ma per la lungaggine dell'esercizio infatti ad un certo punto se avessi integrato in maniera "pura" avrei dovuto integrare per parti parecchie volte...ora volevo chiedere a voi esperti se questa soluzione può essere considerata corretta al 100%(ed avere dunque punteggio pieno per l'es senza penalità) o se potrebbe essere contestata in sede d'esame(qualora capitasse questo integrale, visto che l'es viene pescato da questi 100).Grazie
Data la mia poca manualità con latex e simili allego uno immagine scannerizzata dello svolgimento...
http://i45.tinypic.com/28tevb8.jpg
Mi sto preparando all'esame di Analisi 1(ing. civile) e tra le cose ho cento integrali consigliati per la preparazione all'esame, fino ad ora ne ho fatti circa 80 e non ho incontrato particolari grattacapi, ma questo integrale mi ha lasciato un po' perplesso non tanto per la difficoltà ma per la lungaggine dell'esercizio infatti ad un certo punto se avessi integrato in maniera "pura" avrei dovuto integrare per parti parecchie volte...ora volevo chiedere a voi esperti se questa soluzione può essere considerata corretta al 100%(ed avere dunque punteggio pieno per l'es senza penalità) o se potrebbe essere contestata in sede d'esame(qualora capitasse questo integrale, visto che l'es viene pescato da questi 100).Grazie
Data la mia poca manualità con latex e simili allego uno immagine scannerizzata dello svolgimento...
http://i45.tinypic.com/28tevb8.jpg
Risposte
Non capisco dove dovrebbe essere il problema nel tuo svolgimento, che mi sembra corretto.
Ad ogni modo, la sostituzione iniziale potevi risparmiarla: infatti, dato che \(\cos 2x =\cos^2 x-\sin^2 x\), sapevi che conveniva far sin dall'inizio la sostituzione \(t=\tan x\) (poiché invero con questa sostituzione si fanno meno conti, rispetto alla classica \(t=\tan x/2\), quando la funzione integranda dipende da \( \cos^2 x,\ \sin^2 x,\ \sin x\ \cos x,\ \tan x\)).
Con la sostituzione indicata, si trova:
\[
\cos 2x= \frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\cos^2 x+\sin^2 x} = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x} = \frac{1-t^2}{1+t^2}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
\int \frac{1}{\cos 2x}\ \text{d} x &\stackrel{t=\tan x}{=} \int \frac{1+t^2}{1-t^2}\ \frac{1}{t^2}\ \text{d} t \\
&= \int \frac{1}{2(1+t)}\ \text{d} t + \int \frac{1}{2(1-t)}\ \text{d} t \\
&= \frac{1}{2}\ \log \left| \frac{1+t}{1-t}\right| +C \\
&\stackrel{t=\tan x}{=} \frac{1}{2}\ \log \left| \frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right| +C\; .
\end{split}
\]
Ad ogni modo, la sostituzione iniziale potevi risparmiarla: infatti, dato che \(\cos 2x =\cos^2 x-\sin^2 x\), sapevi che conveniva far sin dall'inizio la sostituzione \(t=\tan x\) (poiché invero con questa sostituzione si fanno meno conti, rispetto alla classica \(t=\tan x/2\), quando la funzione integranda dipende da \( \cos^2 x,\ \sin^2 x,\ \sin x\ \cos x,\ \tan x\)).
Con la sostituzione indicata, si trova:
\[
\cos 2x= \frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\cos^2 x+\sin^2 x} = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x} = \frac{1-t^2}{1+t^2}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
\int \frac{1}{\cos 2x}\ \text{d} x &\stackrel{t=\tan x}{=} \int \frac{1+t^2}{1-t^2}\ \frac{1}{t^2}\ \text{d} t \\
&= \int \frac{1}{2(1+t)}\ \text{d} t + \int \frac{1}{2(1-t)}\ \text{d} t \\
&= \frac{1}{2}\ \log \left| \frac{1+t}{1-t}\right| +C \\
&\stackrel{t=\tan x}{=} \frac{1}{2}\ \log \left| \frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right| +C\; .
\end{split}
\]
io proverei così:
$\int 1/{cos 2x}dx=1/2\int 1/{cos y}dy=1/2\int {{1+sin y}/{cos^2 y}}/{{1+sin y}/{cos y}}dy$ a questo punto ${sin y +1}/{cos^2 y}$ è la derivata di ${1+sin y}/{cos y}$ quindi $\int 1/{cos 2x}dx=1/2ln|{sin 2x +1}/{cos 2x}|+c$
$\int 1/{cos 2x}dx=1/2\int 1/{cos y}dy=1/2\int {{1+sin y}/{cos^2 y}}/{{1+sin y}/{cos y}}dy$ a questo punto ${sin y +1}/{cos^2 y}$ è la derivata di ${1+sin y}/{cos y}$ quindi $\int 1/{cos 2x}dx=1/2ln|{sin 2x +1}/{cos 2x}|+c$
Grazie mille, è vero, sostituzione "inutile" la mia e poco logica, ma un giorno di integrali sono pericolosi 
La cosa che mi aveva posto il problema era il risultato che mi davano che era 1/2 ln|tgx +π/4|+c, usando cos2x=(sen2x +π/2), forse era più semplice...
Grazie ancora!
La cosa che mi aveva posto il problema era il risultato che mi davano che era 1/2 ln|tgx +π/4|+c, usando cos2x=(sen2x +π/2), forse era più semplice...
Grazie ancora!
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