Integrale, dove sbaglio?
Buongiorno,
ho il seguente integrale: $ int (x^2+1)/(x-1) dx $.
Provo a fare l'integrale per sostituzione: pongo $x-1 = t$, quindi $x=t+1$ e $dx=dt$.
Sostituisco nell'integrale e mie viene: $ int ((t+1)^2+1)/t dt $
da cui ricavo 3 integrali: $ int t dt $ + $ 2int 1 dt $ + $ 2int 1/t dt $.
La soluzione che trovo io è quindi la seguente: $t^2/2 + 2t + 2 ln|t| + k$ ovvero: $(x-1)^2/2 + 2(x-1) + 2ln|x-1| + k$
solo che sulle dispense la soluzione scritta è: $2ln|x-1| + x^2/2 + x + k$
Quindi vi chiedo: dov'è che sbaglio ?
grazie
ho il seguente integrale: $ int (x^2+1)/(x-1) dx $.
Provo a fare l'integrale per sostituzione: pongo $x-1 = t$, quindi $x=t+1$ e $dx=dt$.
Sostituisco nell'integrale e mie viene: $ int ((t+1)^2+1)/t dt $
da cui ricavo 3 integrali: $ int t dt $ + $ 2int 1 dt $ + $ 2int 1/t dt $.
La soluzione che trovo io è quindi la seguente: $t^2/2 + 2t + 2 ln|t| + k$ ovvero: $(x-1)^2/2 + 2(x-1) + 2ln|x-1| + k$
solo che sulle dispense la soluzione scritta è: $2ln|x-1| + x^2/2 + x + k$
Quindi vi chiedo: dov'è che sbaglio ?
grazie
Risposte
non c'è bisogno di nessuna sostituzione, svolgi il quadrato e separa invece tutti i termini della frazione.
"Quinzio":
non c'è bisogno di nessuna sostituzione, svolgi il quadrato e separa invece tutti i termini della frazione.
avevo scritto male l'integrale, puoi rivederlo per favore?
Io svolgerei il quadrato e poi faccio col rapporto..
Dunque, c'erano un paio di errori, questa è la correzione finale (ho già corretto anche il primo post, ma lo pubblico anche qua così si fa chiarezza).
$ int (x^2+1)/(x-1) dx $.
Provo a fare l'integrale per sostituzione: pongo $x-1 = t$, quindi $x=t+1$ e $dx=dt$.
Sostituisco nell'integrale e mie viene: $ int ((t+1)^2+1)/t dt $
da cui ricavo 3 integrali: $ int t dt $ + $ 2int 1 dt $ + $ 2int 1/t dt $.
La soluzione che trovo io è quindi la seguente: $t^2/2 + 2t + 2 ln|t| + k$ ovvero: $(x-1)^2/2 + 2(x-1) + 2ln|x-1| + k$
solo che sulle dispense la soluzione scritta è: $2ln|x-1| + x^2/2 + x + k$
$ int (x^2+1)/(x-1) dx $.
Provo a fare l'integrale per sostituzione: pongo $x-1 = t$, quindi $x=t+1$ e $dx=dt$.
Sostituisco nell'integrale e mie viene: $ int ((t+1)^2+1)/t dt $
da cui ricavo 3 integrali: $ int t dt $ + $ 2int 1 dt $ + $ 2int 1/t dt $.
La soluzione che trovo io è quindi la seguente: $t^2/2 + 2t + 2 ln|t| + k$ ovvero: $(x-1)^2/2 + 2(x-1) + 2ln|x-1| + k$
solo che sulle dispense la soluzione scritta è: $2ln|x-1| + x^2/2 + x + k$
Ho provato a farlo velocemente come avevo scritto sopra e mi viene io applico la diviosione tra numeratore e denominatore perchè il grado del numeratore è maggiore così mi ritrovo l'integrale di x+1 + l'integrale di 2/x-1..
credo sia uno svolgimento più semplice rispetto la sostituzione..
credo sia uno svolgimento più semplice rispetto la sostituzione..
$ int (x^2+1)/(x-1) dx $
Allora è molto più semplice di quello che si può pensare, senza andare a fare sostituzioni o cose varie.
Sommando e sottraendo una stessa quantità al numeratore (+1-1) ottieni:
$ int ((x^2-1)+2)/(x-1) dx $ basta fare i conti.
Puoi dopo raccogliere al numeratore $ (x^2-1)=(x-1)(x+1) $ e dividere l'integrale in due somme di integrali e ottenere:
$ int (x+1)dx+2int(1/(x-1))dx $ basta poi fare di nuovo altri due integrali dal primo ed ottenere
$ int xdx +int1dx+2int(1/(x-1))dx $ fai i conti e sei arrivato
Allora è molto più semplice di quello che si può pensare, senza andare a fare sostituzioni o cose varie.
Sommando e sottraendo una stessa quantità al numeratore (+1-1) ottieni:
$ int ((x^2-1)+2)/(x-1) dx $ basta fare i conti.
Puoi dopo raccogliere al numeratore $ (x^2-1)=(x-1)(x+1) $ e dividere l'integrale in due somme di integrali e ottenere:
$ int (x+1)dx+2int(1/(x-1))dx $ basta poi fare di nuovo altri due integrali dal primo ed ottenere
$ int xdx +int1dx+2int(1/(x-1))dx $ fai i conti e sei arrivato
perfetto! ora è chiarissimo! grazie mille per la pazienza.
"l0r3nzo":
perfetto! ora è chiarissimo! grazie mille per la pazienza.
Tra parentesi, il tuo risultato non era sbagliato, se sommi quelle frazioni ottieni la stessa cosa.. Certo è che non hai usato il metodo più veloce
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo